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2数の積の最小、最大の数を出す問題
次の問題ですが、どのように取りかかって良いのか全く分かりません。
易しくお教えください。
(1)差が14となる2数の中で積が最小となる2数を求めなさい。
(2)和が12となる2数の中で積が最大となる2数を求めなさい。
以上のような問題なのですが、考え方と解き方を教えてください。

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A 回答 (5件)

求めるべき数は実数ということで検討しました。


(1)
x-y=14
z=xy を最小化する
と定式化します。

x-y=14の時、
z=xy=x(x-14)
=(x-7)^2-49
 ※xについての2次関数なので、平方完成
  して最小値を見出します。

右辺第1項は、○^2の形なので、常に0以上。
したがって、zの最小値=49(x=7,y=-7のとき)

「差」なので、x-y=14だけでなくy-x=14も該当
しますが、xとyを入れ替えればよいので、答えは
x=-7,y=7となる。

以上から、2数は7および-7で最小値=-49

(2)
x+y=12
z=xy を最大化する
と定式化します。

x+y=12の時、
z=xy=x(12-x)
=-(x-6)^2+36
 ※xについての2次関数なので、平方完成
  して最大値を見出します。

右辺第1項は、-○^2の形なので、常に0以下。
したがって、zの最小値=36(x=6,y=6のとき)

以上から、2数はいずれも6で最大値=36
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この回答へのお礼

易しく分かりやすく教えてただきまして、ほんとうにありがとうございました。
これで、手がつけられぬことが解決して大変嬉しく思います。
明日からの学校頑張ります。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/05/16 18:22

つうかこれでいいじゃん。

書けば一瞬で出る
(1)小さい数をx-7(xは実数)とすると大きい数はx+7だからそれらの積は
(x-7)(x+7)=x^2-49
これはx^2≧0よりx^2-49≧-49でx=0のときx^2-49は最小値-49となって
小さい数大きい数はそれぞれ-7、7

(2)小さい数をy+6 大きい数を-(y-6)として
これらの積は36-y^2で表されてy=0のとき最大36をとる
よって小さい数大きい数はともに6
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この回答へのお礼

解き方の手順が良く理解できました。ほんとうにありがとうございました。助かりました。

お礼日時:2010/05/30 11:52

(1) 2数は片方が正、もう片方が負です。

(この場合2数の積は負になりますが、2数が同符号だと積は正になって最小にならないので)
で、2数をXと-Yと置けば(X>0,Y<0)、相加相乗平均の関係より
X×(-Y) = -XY ≧ -(X+Y)^2/4 = -(X-(-Y))^2/4 = -14^2/4 = -49 (等号成立はX=Y=7のとき)
ということで、2数は、7と-7です。


(2) 2数は共に正です。(両方負のときは和も負で12にならない、片方のみ負なら積は負な
ので最大にならない)
というわけで、相加相乗平均の関係を使って、
XY≦(X+Y)^2/4 = 12^2/4 = 36 (等号成立はX=Y=6とき)
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この回答へのお礼

お礼が大変遅くなりましてすみませんでした。解き方の手順が良く分かりました。大変助かりました。ありがとうございました。

お礼日時:2010/05/30 11:49

(1)だけやる。


x>yのとき
x-y=14
xyを最小化

y=x-14をxyに代入
xy=x(x-14)
x(x-14)を最小にするxはx=7
このときy=-7
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この回答へのお礼

ありがとうございます。考え方に手がつけられない状態でしたので、これで一歩前進ができます。明日からの学校がんばれます。ありがとうございました。

お礼日時:2010/05/16 18:24

(1)小さい方の数をxと書くとすると、大きい方はx + 14となる。


この積をyとする、つまり
y = x(x + 14)
このグラフを書くと、
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+x%28x …
のPlotsのようになる。yは二次関数の軸で最小となりx = -7のときである。((0 + (-14)) /2 = -7)
x + 14 = -7 + 14 = 7

よって2数は-7と7である。

(2)和が12であるような2数はx,12-xで書ける。
この積をyとする、つまり
y = x(12-x)
このグラフを書くと
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+x%281 …

(1)と同様、yは二次関数の軸で最大となりx = 6のときである。((0 + 12) /2 = 6)
そしてもう一つの数も6である。

よって2数は6と6である。
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この回答へのお礼

最初どのように手をつけて良いのか、まったく分かりませんでしたが、これでやっと理解できました。ほんとうにありがとうございました。

お礼日時:2010/05/30 11:54

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