伝熱工学、熱通過の問題がわかりません。

伝熱工学、熱通過の問題がわかりません。

答えは(1)なのですが途中経過がわかりません。温度は中間温度ではなく微分方程式を使うらしいのですがわからずとても困っています。明日の朝までにどうにかなりませんでしょうか。どうか助けてください。
例題１.15で容器内の液体温度が５１度から３０度にまで下がる時間はどれが最も早いか。

例題１.15
容器に５１度の液体が入っている、この温度を４９度に下げるには、次のどの方法が最も早いか。ただし、容器壁は充分薄く、内外面温度差はないものとする。

以下、御手数ですが画像参照お願いします。

補足
(1)容器を０度の水に静かにつける。この場合、容器内外面の熱伝達率はいずれも１００W/(m^2・K)であるとする。
(2)容器を２０度の流水中に置く。この場合、容器外面の熱伝達率は、４００W/(m^2・K)であるとする。
(3)容器を２０度の水につけ、振る。この場合、容器内外綿の熱伝達率はいずれも１８０W/(m^2・K)であるとする。

例題の回答は画像に載っています。
５１度から３０度にまで下がる場合、中間温度ではなく微分方程式を使うらしいのですが・・・。

No.1 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/05/17 02:01

熱通過率Ｋは例題と全く同じなので、

（１） Ｋ＝90W/(m^2*K)
（２） Ｋ＝80W/(m^2*K)
（３） Ｋ＝90W/(m^2*K)
です。
容器の表面積をＳ，液体の熱容量をＣ，時刻tでの液体の温度をＴ(t)、として、
時刻t0で３０度になったとすれば、
たとえば（１）については、
Ｑ = C×(51-T(t)) = ∫_[τ=0→t] S×Ｋ×(T(τ)-0) dτ
がなりたちます。両辺をtで微分すれば、
-C×T'(t) = S×Ｋ×T(τ)
という微分方程式ができます。これを、初期条件T(0)=51 で解いて、T(t0)=30になる時刻t0を見つければ、それが３０度になる時刻です。

同じようにして、（２）（３）も微分方程式を解いて、３０度になる時刻を調べればよい。