ずいぶん考えたのですが、分からないので教えて下さい。
次の問題です。

次の不等式を解け
1<2の-2log1/2底のX乗<16

これの正解は1<X<4なのですが、私が解いていくと、
1<X,4<Xになって結果4<Xになってしまいます(泣)
どなたか途中の正確な過程を教えていただければ幸いです。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

なぜか誰も回答を書いていないようなので…書かせていただきます.専門家でないのでもし間違ってたらごめんなさい



記法を次のように決めるとします.
x^y:xのy乗
log(x)y:xを底とするlog y

問題は次のよう.
1< 2^(-2log(1/2)X) <16

各項に関して、2を底とするlogを取る、
log(2)1 < (-2log(1/2)X)log(2)2<log(2)16

各項を整理すると
0<-2(log(1/2)X)<4

各項に(-1/2)をかける(負をかけるので不等号の向きはここで逆になる)
0>log(1/2)X>-2

各項に関して、(1/2)の累乗を作る(1より小さい数の累乗なので不等号の向きはここで逆になる)
(1/2)^0<X <(1/2)^(-2)

各項を整理する
1<x< 4

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました!
とても詳しい説明でわかりやすかったです。
私ももっと対数の勉強をしなくてはいけませんネ・・・(笑)

お礼日時:2001/04/03 15:43

glairさん> 各項に(-1/2)をかける(負をかけるので不等号の向きはここで逆になる)


glairさん> 0>log(1/2)X>-2

ここで底の変換をした方が分かりやすい?
底を2に変換すると

0 > log(2)X/{log(2)1/2} > -2
0 > - log(2)X > -2
0 < log(2)X < 2
1 < X < 4
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
底の変換を使うんですね。全然思いつきませんでした(笑)

お礼日時:2001/04/03 15:47

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Q不等式の解き方教えてください!

不等式の解き方教えてください!
(100+z)-(100+z)×0.2≧100
↑↑の解き方を教えてください!

Aベストアンサー

(100+z)-(100+z)×0.2≧100

わかりやすく、ばらばらにしましょう。

100+Z-0.2×100-0.2×z≧100

つぎにまとめましょう。

(1-0.2)×z+(1-0.2)×100 ≧100

けいさんをすすめましょう

0.8×z+0.8×100≧100

さらにすすめましょう

0.8×z+80≧100

つぎに、りょうほうのしきから80をひいてみましょう

0.8×z+80-80 ≧100-80

ぱずるといっしょですね。

0.8×z ≧20

こんどはりょうほうのしきを0.8でわってみましょう

0.8÷0.8×z ≧20÷0.8

z≧20÷0.8=200÷8=100÷4=50÷2=25

だから・・・

z≧25

となりますね

Q不等式 log2|x-1|+log1/4|4-x|<2

不等式 log2|x-1|+log1/4|4-x|<2
を満たす実数xの範囲を求めたいのですが、
よくわかりません。

変形すると、(x-1)^2<16|4-x|になるのですが、
どうやったらこの式まで導けるのかがわからないです。

どなたか教えていただけませんか??

logのあとの2と1/4は底の数字です。

Aベストアンサー

とりあえず、両辺を指数として変形すればいいと思います。

a<b なら c^a < c^b は成り立ちます、実数ならね。
それを使えば楽だと思います。

そのあとは自力でよろしく。

Qこの不等式の解き方を教えてください

この不等式の解き方を教えてください

Aベストアンサー

愚直にやってみましょう。

対数をとれば
 x^2 * log(a) > (x - 2)*log(3) + 2x * log(a)
→ (x^2 - 2x)*log(a) > (x - 2)*log(3)
→ x(x - 2)*log(a) > (x - 2)*log(3)

0<a<1 なので log(a) < 0 であり
 x(x - 2) < (x - 2)*log(3) / log(a)   ①

x>2 のとき
 x < log(3) / log(a)
0<a<1 なので log(3) / log(a) < 0 であり、不等式を満足しない。

x=2 のとき、①の左辺=右辺となるので、不等式を満足しない。

0<x<2 のとき、①は
 x > log(3) / log(a)
0<a<1 なので log(3) / log(a) < 0 であり、これは常に成立する。
よって、共通部分を取って
 0<x<2   ②

x≦0 のとき、①は
 x > log(3) / log(a)
0<a<1 なので log(3) / log(a) < 0 であり、共通部分を取って
 log(3) / log(a) < x ≦ 0   ③

②③より、不等式を満たす x の範囲は
 log(3) / log(a) < x < 2

愚直にやってみましょう。

対数をとれば
 x^2 * log(a) > (x - 2)*log(3) + 2x * log(a)
→ (x^2 - 2x)*log(a) > (x - 2)*log(3)
→ x(x - 2)*log(a) > (x - 2)*log(3)

0<a<1 なので log(a) < 0 であり
 x(x - 2) < (x - 2)*log(3) / log(a)   ①

x>2 のとき
 x < log(3) / log(a)
0<a<1 なので log(3) / log(a) < 0 であり、不等式を満足しない。

x=2 のとき、①の左辺=右辺となるので、不等式を満足しない。

0<x<2 のとき、①は
 x > log(3) / log(a)
0<a<1 なので log(3) / log(a) < 0 であり、これは常...続きを読む

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
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Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む

Q不等式 ax~2>x の解き方を教えてください。

不等式 ax~2>x の解き方を教えてください。
両辺xで割るのは、なぜいけないのでしょうか?

Aベストアンサー

aという定数は、問題で指定されない限り、様々な値が入ります。
 a=4 だったり、 a=0 かもしれませんし、 a=-5 な場合もあるでしょう。

a<0のとき、というのはつまり上で言うとa=-5なんていうときです。

たとえば、与式にa=-5を代入してみてください。

x(-5x-1)>0

ここで、両辺を-5(つまりaで割る、ということです)で割ると、

x(x+1/5)<0

となります。

これに、a=-5を代入すると、
x(x-1/a)<0

と、回答通りになります。

aを見た目のまま正の数とお考えではありませんか?
aというと、一見正の値に見えますが、実は中身が0だったり、-5のように負の値の可能性があるのです。
aが負の値ということは、aの中身がが負の値なのです。


-aとしてしまうと、もはやそれはaでない別の値になっているのです。
これは、-a(aは負の数)つまり正の値を割っているので符号は変わらず、aが整の値の時と同じ処理をしていることになります。

いちばん大切なのはaという文字ではなくて、その中に何が入っているかなのです。

aという定数は、問題で指定されない限り、様々な値が入ります。
 a=4 だったり、 a=0 かもしれませんし、 a=-5 な場合もあるでしょう。

a<0のとき、というのはつまり上で言うとa=-5なんていうときです。

たとえば、与式にa=-5を代入してみてください。

x(-5x-1)>0

ここで、両辺を-5(つまりaで割る、ということです)で割ると、

x(x+1/5)<0

となります。

これに、a=-5を代入すると、
x(x-1/a)<0

と、回答通りになります。

aを見た目のまま正の数とお考えではありませんか?
aというと、一見正の値に見...続きを読む

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Q一次不等式の文章題の解き方について

一次不等式の文章題の解き方について
この一次不等式の文章題の解き方でわからないところがあります。
■問題■
6%の食塩水が450gある。これに食塩を加えて10%以上の食塩水にするためには、食塩を何g以上加えればよいか。

6%の食塩水450gに含まれる食塩の量は
0.06×450=27(g)
Xgの食塩を加えると、食塩は(27+X)g。食塩水は(450+X)g
ここまではわかりました。
ここからがわからないところです
よって、27+X≧0.1(450+X)
(1)0.1がなにを表しているのか、なぜ必要なのかがわかりません。
(2)符号の向きがどうして左向きにしなければいけないのかがわかりません。
(3)どうしてこのような式になったのかがわかりません。

この三点について説明していただけませんか?宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

Xグラムの食塩を加えた後の食塩水の濃度が10%以上ということがキーです。

(1)0.1は「10%」の意味です。
(2)当該濃度=(27+X)/(450+X)と表されますので、これが10%「以上」という
  ことから、(27+X)/(450+X)>=10%=0.1となります。
(3)上記の分母(450+X)を払い、27+X>=0.1(450+X)を得ます。

Qx/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<

x/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<1において負でそれ以外が正になります。
いつでも微分を使っていい訳では無いのですか?

Aベストアンサー

xの取れない値は分かりますか?
x=1とすると1/0となるのでx≠1ですね。
xをほぼ1だけど1より小さい場合を考えると、-1/0.000000000000001みたいな感じですね。
これはxをマイナス側から1に近付けると、-∞に近付くことを表しています。
xをほぼ1だけど1より大きい場合は、1/0.000000000000001みたいな感じですね。
同様にプラス側から近付けると∞に近付くことを表しています。

つまり、x≠1であり、1以外の全てのxにおいて傾きはマイナスである。
という意味です。

Q一次方程式と一次不等式の分数の解き方

分数がない問題ならある程度は解けるのですが、分数が苦手なので分数の問題を見ると手がとまってしまって解けないです。
分数の問題が解けるようになりたいので解き方を教えてください。
一次方程式
○5/6x-2=x/3-4
一次不等式
○1/6x-2<2/3x-1

Aベストアンサー

分数があるなら、なくしてしまえばいいのです。
一問目
 左辺のxは分母にあるのでしょうか?もしそうだと一次方程式にならないのですが。強引に
5x/6-2=x/3-4
として進めます。分数の部分を見ると分母は6および3なので、その最小公倍数である6を両辺に掛けます。
5x-12=2x-24

 もしxが分母にあるのなら両辺に6xをかけて
5-12x=2x^2-24x
という二次方程式になります。xがゼロでないという条件は付きますがあとは普通に二次方程式を解くだけです。

二問目
 不等式でも基本は同じです。これもxは分子にあるとして、両辺に6をかけると
x-12<4x-6
という、分数を含まない不等式になります。

 基本は同じというのは、かける数が負の場合に不等号の向きが変わるところが方程式と違うためです。

Q方程式 log_2 x = 1/x は、1<x<2 において解を持つこ

方程式 log_2 x = 1/x は、1<x<2 において解を持つことを示せ。

解答が略されていて、まったくわかりません。途中式もおしえてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/xを左辺に移項し、f(x)=log_2 x - 1/x とします。
この関数はx > 0で定義され、連続性を持ちます。
1<x<2において解を持つということは、言い換えれば1から2の間の実数の中にf(x)=0となるようなxがあるということです。
さらに考えを深めていくと、f(1)とf(2)の符号が逆になっていれば
(例えば、f(1)=-2でf(2)=3)1と2の間にf(x)=0とするようなxが存在することになります。
(グラフを書いてみればわかると思います。)

この問題の場合、
f(1) = log_2 1 -1 = 0 - 1 = -1
f(2) = log_2 2 - 1/2 = 1 - 1/2 = 1/2
となり、f(1) < 0でf(2)>0となるので
log_2 x = 1/xは、1<x<2において解をもつということになります。