ずいぶん考えたのですが、分からないので教えて下さい。
次の問題です。

次の不等式を解け
1<2の-2log1/2底のX乗<16

これの正解は1<X<4なのですが、私が解いていくと、
1<X,4<Xになって結果4<Xになってしまいます(泣)
どなたか途中の正確な過程を教えていただければ幸いです。

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

なぜか誰も回答を書いていないようなので…書かせていただきます.専門家でないのでもし間違ってたらごめんなさい



記法を次のように決めるとします.
x^y:xのy乗
log(x)y:xを底とするlog y

問題は次のよう.
1< 2^(-2log(1/2)X) <16

各項に関して、2を底とするlogを取る、
log(2)1 < (-2log(1/2)X)log(2)2<log(2)16

各項を整理すると
0<-2(log(1/2)X)<4

各項に(-1/2)をかける(負をかけるので不等号の向きはここで逆になる)
0>log(1/2)X>-2

各項に関して、(1/2)の累乗を作る(1より小さい数の累乗なので不等号の向きはここで逆になる)
(1/2)^0<X <(1/2)^(-2)

各項を整理する
1<x< 4

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました!
とても詳しい説明でわかりやすかったです。
私ももっと対数の勉強をしなくてはいけませんネ・・・(笑)

お礼日時:2001/04/03 15:43

glairさん> 各項に(-1/2)をかける(負をかけるので不等号の向きはここで逆になる)


glairさん> 0>log(1/2)X>-2

ここで底の変換をした方が分かりやすい?
底を2に変換すると

0 > log(2)X/{log(2)1/2} > -2
0 > - log(2)X > -2
0 < log(2)X < 2
1 < X < 4
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
底の変換を使うんですね。全然思いつきませんでした(笑)

お礼日時:2001/04/03 15:47

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Q不等式 log2|x-1|+log1/4|4-x|<2

不等式 log2|x-1|+log1/4|4-x|<2
を満たす実数xの範囲を求めたいのですが、
よくわかりません。

変形すると、(x-1)^2<16|4-x|になるのですが、
どうやったらこの式まで導けるのかがわからないです。

どなたか教えていただけませんか??

logのあとの2と1/4は底の数字です。

Aベストアンサー

とりあえず、両辺を指数として変形すればいいと思います。

a<b なら c^a < c^b は成り立ちます、実数ならね。
それを使えば楽だと思います。

そのあとは自力でよろしく。

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
続きを読む

Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Qx/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<

x/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<1において負でそれ以外が正になります。
いつでも微分を使っていい訳では無いのですか?

Aベストアンサー

xの取れない値は分かりますか?
x=1とすると1/0となるのでx≠1ですね。
xをほぼ1だけど1より小さい場合を考えると、-1/0.000000000000001みたいな感じですね。
これはxをマイナス側から1に近付けると、-∞に近付くことを表しています。
xをほぼ1だけど1より大きい場合は、1/0.000000000000001みたいな感じですね。
同様にプラス側から近付けると∞に近付くことを表しています。

つまり、x≠1であり、1以外の全てのxにおいて傾きはマイナスである。
という意味です。

Q方程式 log_2 x = 1/x は、1<x<2 において解を持つこ

方程式 log_2 x = 1/x は、1<x<2 において解を持つことを示せ。

解答が略されていて、まったくわかりません。途中式もおしえてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/xを左辺に移項し、f(x)=log_2 x - 1/x とします。
この関数はx > 0で定義され、連続性を持ちます。
1<x<2において解を持つということは、言い換えれば1から2の間の実数の中にf(x)=0となるようなxがあるということです。
さらに考えを深めていくと、f(1)とf(2)の符号が逆になっていれば
(例えば、f(1)=-2でf(2)=3)1と2の間にf(x)=0とするようなxが存在することになります。
(グラフを書いてみればわかると思います。)

この問題の場合、
f(1) = log_2 1 -1 = 0 - 1 = -1
f(2) = log_2 2 - 1/2 = 1 - 1/2 = 1/2
となり、f(1) < 0でf(2)>0となるので
log_2 x = 1/xは、1<x<2において解をもつということになります。


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