n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。

n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。
（逆行列を用いて定義するときは、その定義も述べよ。）
という問題があるのですが回答は

n次正方行列Aに対して
AX=XA=En(n次単位行列）
をみたすn次正方行列XがあるときAは正則であるといい、
このときの行列XをA-1（Aインバース）と表して
「Aインバース」と読みAの逆行列という。

これで合ってますか?

あと
n次正方行列Aが等式A^3+A-E=0を満たすとき、
Aは正則であることを示せ。
またA-1をAおよびEを用いて表せ。
この問題が分かりません。

どなたか宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/30 23:07

正則性の定義は、貴方のものでも良いし、

det A ≠ 0 や rank A = n でも良い。
ただし、流れから言って
det や rank の定義を書き添える必要がありそうだから、
貴方の定義のほうが、簡潔で書き損じが生じ難いと思う。

＞ これって XA = E は
＞ 示さなくても正則といえるのでしょうか？

(A^2 + E)A = E と書いとけば良い。
あるいは、定義のほうを AX = E だけにしておく手も。

ケイリー・ハミルトンの定理より、
A に逆行列が在れば、それは A の多項式で書ける
ことが解るから、逆行列は A と可換になる。

この回答へのお礼

なるほど!
分かりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/31 07:26

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/05/30 23:04

その X に対して XA = E かどうかを自分で確かめればいいのではないでしょうか.

この回答へのお礼

確かにそういう手もいいですね。
やってみます。

お礼日時：2010/05/31 07:27

No.1 回答者： okormazd 回答日時： 2010/05/30 17:17

前半はいいでしょう。

後半は、
A=AEだから、
A^3+A-E=A^3+AE-E=0
A^3+AE=E
A(A^2+E)=E
で、Ax=Eの形になって、x=A^2+E
すなわち、
A^-1=A^2+E
ということじゃないか。

この回答への補足

これってXA＝Eは
示さなくても正則といえるのでしょうか?

補足日時：2010/05/30 21:09

この回答へのお礼

途中式まで書いていただいて
一番早い回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/05/31 07:28