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z,wを複素数とします.このとき,微分方程式dy/dz=yを用いて,指数法則

e^z・e^w=e^(z+w)
を示せという問題なのですが,どのようにしたらいいでしょうか?

dy/dz=yを満たす冪級数を
y=ΣCn・z^n (Cn:定数)
とすると,y=Co・e^zになるところまでは出来たのですが,
そこから積についてどのように示したら良いかわかりません.

よろしくお願いします.

A 回答 (3件)

dy/dz=y の解をy=f(z)とおいたとき(ただし,f(0)は0ではないとする)


f(z+w)を考えると
(df/dz)(z+w) = f(z+w)であるから
f(z+w)=Cf(z)とおける.
(線型一階定数係数微分方程式の解は一次元のベクトル空間だから)
w=z=0とおくとf(0)=Cf(0)であるのでC=1
よって
f(z+w)=f(z)f(w)

あとは,f(z)=Ce^z であることを示せば指数法則は十分でしょう.
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ついでに.


級数表示ができたんなら
コーシー積をとれば指数法則はすぐ出てくる
これは教養一年生の微積分でやってるはず
けどこれは問題の意図とは絶対に違う
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微分方程式 dy/dx = y の解が


y = C e^z であることを既知としてよいなら…

f(z) = e^z・e^w - e^(z+w) と置くと、
df/dz = f が成り立つから、f(z) = C e^z であるが、
f(0) = 0 だから、結局 f(z) ≡ 0。
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