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ゼータ関数を学ぶにあたって

中学生です。
ゼータ関数や素数の世界に興味を持っているので、将来その分野の研究者になりたいと漠然とですが思っています。

ゼータ関数の概要はわかっているつもりですが、本格的に勉強するには、どの分野を学べばよいのでしょうか。具体的な参考書などもあげていただけるとうれしいです。

もし専門家の方がいらっしゃれば、何をどんな風に勉強したかぜひお教えください。

よろしくお願いいたします。

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A 回答 (5件)

「ゼータ関数」という言葉を知っているだけでも、りっぱです。

「リーマン予想」の本を読んでみてください。
モノグラフ「整数」科学振興新社
http://www.foruma.co.jp/books/print/pri_7527/894 …
http://www.foruma.co.jp/index_k.html
東京出版「マスター・オブ・整数」大学への数学分野別重点シリーズ1
日本評論社「チャレンジ!整数の問題199」水上勉著、黒川信重監修
この本の巻末に、参考文献が紹介されています。
岩波書店「現代数学への入門」9数論入門1、10数論入門2.
リーマンのゼータ関数は、大学の微分積分の教科書の無限級数のところで、名前と式を見たことはあります。
先日のNHKスペシャルで、「リーマン予想」の番組をやっていました。
http://www.nhk.or.jp/special/onair/091115.html
数論、整数論の歴史を調べてみたりすると、フェルマ予想とか、ガウスの整数論など、いろんなことがわかるでしょう。
高校で、数論の研究を始めるのであれば、京都市立堀川高校へ進学してください。高校時代に、どんなテーマでも、研究できます。
数学オリンピックで、メダルを取った人に、個人指導があったようです。数論でした。数学オリンピックに挑戦してみてください。
大学で、高校生対象の数学のセミナーが開催されたりします。数学雑誌「数学セミナー」や「理系への数学」「大学への数学」「高校への数学」などに目を通してみてください。
東海大学出版会「虚数の情緒」吉田武著、オイラーの公式を導くのですが、「中学生からの全方位独学法」という挑発的な副題がついています。
晦鳴社「素数夜曲:女王の誘惑」吉田武、こちらの本が、直接的ですね。
回答者の回答に、「複素関数論」が必要だとありました。高校で、複素数を学習するのかどうか、わかりませんが、高校数学の参考書の複素数(モノグラフ:単元別の参考書)と、朝倉書店数学30講シリーズの「複素数30講」志賀浩二著を読んでみて下さい。
岩波新書「無限の中の数学」志賀浩二著もおすすめです。
NHK高校講座の数学基礎は、秋山仁先生の授業です。
http://www.nhk.or.jp/kokokoza/library/2009/tv/su …
大いにお励みください。
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ブルーバックスから


「素数入門」芹沢正三著
・・・という本が出ているようなので読んでみられては如何・・・!?
また、結構古くなるけど・・・
文庫クセジュ(白水社)から
「素数」E.Borel著 (芹沢正三訳)
・・・という本も出ていたと思う・・・!?
(一応書籍の紹介のみ・・・!)

・・・当方、専門家でも何でもないので悪しからず!・・・
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こんにちは。


まだ中学生なのに、すごいね。
だけど、重要な業績を20歳代で達成した学者は歴史上ぞろぞろいるので、それを考えると時間的余裕はないかも?(笑)

さて、
ゼータ関数については、東京工業大学の黒川信重先生が有名です。
他の大学で助教授をしていた人が、その職を捨ててまで黒川先生に弟子入りしているほど。

こちらに著書名やリンクのほか、キーワードになりそうな用語があちこちに書かれているので、
それをもとに文献探しをしてみるとよいと思う。
高校生向けの著書もあるようですね。
ゼータ関数を学ぶには、少なくとも(大学院レベルの)「複素関数論」は必須らしい。

http://www.math.titech.ac.jp/~kurokawa/kurokawa. …

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%92%E5%B7%9D% …


<余談>
黒川先生は、高校時代は親友でありライバルでもある人と、数学の創作問題を毎日のように出しっこをし、
さらには、その親友とともに「大学への数学」への投稿魔になって、数々の採用を勝ち取ったいたという逸話があります。
(その後、二人は同じ大学に進んだものの、親友は黒川先生の尋常ならぬ天才ぶりに気づき、音楽家に転向しました。)
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分野は違いますが大学院で数学を学んでいます。


中学生ですか。すごいですね。

まず素数分布などの整数論についての基礎として,古典的ですが
高木貞治著『初等整数論講義』
があります。
前半は中学までの数学の知識で読めると思います。

しかし,これから高校で学ぶ微分積分や三角関数などの知識も必要になってくるでしょう。
というのは,まだ「どういう分野からアプローチすれば解決できるかも分からない」テーマだからです。
「これを学んでおけば解ける!」というのがあればとっくに解けてます(笑)。
どの分野から突破口が見つかるか分かりません。
ですから,これと決めずに,柔軟な頭脳で幅広く学ぶことをお勧めします。
高校卒業までの数学を先取りするには,
志賀浩二『中高一貫数学コース 数学1~5』とこれの副読本『中高一貫数学コース 数学1~5をたのしむ』を勧めます。

あと,英語をしっかり学んでください。
日本人でも英語で論文を書きますし,海外の論文を読む機会も多いですから。

研究者としてお会いできる日を期待します。がんばってください。
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中学生で読めるような参考書はないので、今は普通に学校の勉強をすればいいでしょう。


大学生になってから、大学の先生にアドバイスをもらえば十分です。
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微分幾何の入門書は
「小林・野水」
と呼ばれる書籍が定番でしょう.
書名は
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(出版はWiley)
結構値段の高い本ですが,世界的に評価の高い定番本で,
数学の図書室には複数冊あるんじゃないでしょうか
内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

日本語の文献だと,
やはり「裳華房の小林先生の本」で通じる
裳華房の
「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)
とか,同じく裳華房の「野水本」
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でしょうか.野水本はちょうど2009年3月に復刊されてます.
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「現代微分幾何入門」の方は
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とにかく長くて・・・。
必要なところをつまみ食いするのがよいでしょう.

微分幾何の入門書は
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内容は結構現代的で下の「野水本」とかぶっています.
日本でも入手可能だと思われます.

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Q複素関数論の演習書

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数年ぶりに、趣味で勉強を再開します。

「問題」と「答案」が省略がほとんどなく、きちんと書いてあるある本がいいです。
独学できて、教師の説明が不要な本。

巻末の解答欄を見て、省略されている本はがっかりします。

「複素関数 演習」で検索したところ次がでましたが、
ほかになにかお勧めの書籍があれば教えてください。
http://www.amazon.co.jp/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E9%96%A2%E6%95%B0%E6%BC%94%E7%BF%92-%E7%90%86%E5%B7%A5%E7%B3%BB%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%A5%E9%96%80%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B9-%E6%BC%94%E7%BF%92-5-%E8%A1%A8/dp/4000066455/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qid=1270259206&sr=8-1

その他、離散数学、記号論理、微積分などに関しても、
「問題」「解答」が省略なく書いてある本をご紹介いただければ助かります。

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>高木貞治先生の『解析概論』、佐武一郎先生の『線型代数学』に書いてある程度のことなら理解できます
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ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。
大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。
しかし、学部に所属し専門課程に入ると、自分のやりたい分野・興味のある分野に関連した情報を、自分自身で集める能力も同じくらい必要になる。それがないから、ここで質問することになるわけである。
今回は私が回答するが、次回以降、より専門的な質問には回答できる人がいなくなるかもしれない。だから、そうした疑問を自分自身で解決できるような能力を鍛えておくべきだと思う。
とは言え、情報収集は別に難しいことではない。理学部に数学科があるのなら、そこ(か大学院の数学研究科みたいなところ)に教授や助教授・助手(准教授)も在籍しているだろう。その中で、自分の興味のある分野に近い分野の研究をしている方にメールしたり、研究室を訪問したりして、どのような準備が必要か、相談するのがよいのではないだろうか。
1年生の内は、知識の少なさや研究の作法みたいなものに不慣れなことから、敷居を高く感じてしまうかもしれない。しかし、その程度のことで失礼を感じて怒ってしまうほど、先生方は怖くはない。勇んで質問に行こう。絶対に損はしない。

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多様体論は、「曲線と曲面の微分幾何」(小林昭七)が今も初学者の定番のようだ。もちろん、他に良い本があると聞いたのならそちらでも良い。

これらの勉強が終わったら、それ以降の勉強に関する質問はこのサイトの回答者の手には余るだろう。
そうなるまでに、良い相談相手の先生を探しておくのが良い。

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なお、第2外国語は、結局要らなかった気がする。

>高木貞治先生の『解析概論』、佐武一郎先生の『線型代数学』に書いてある程度のことなら理解できます
1年生でこれは立派。自分でこうした本を読めるのなら、今後も数学的な困難は何とかなると思う。

ただ、質問者には「自分で未知の分野に挑むための、準備をする能力」が足りないと感じる。
大学の教養課程までの、勉強としての数学には、準備をする能力は不用である。なぜなら、やるべきことはすでに決まっていて、学生はそれに沿って学習を進めればよいだけだからだ。
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