質点A、B(それぞれ質量m)が長さLの糸で結ばれ、質点Aは水平面上を運動し、質点Bは水平面の原点Oにあけられた穴を通して垂れ下がり、3次元的に運動する。重力加速度をgとし、ラグランジュ関数を求めよ。
という問題なのですが、ラグランジュ関数は求めて、運動方程式は立てたのですが、その後の小問がわかりません。
(1)質点Aが原点を中心とした半径rの定常な円運動をする解を求めよ。
(2) (1)の状態から少しずれた場合には微小振動が起きる。その角振動数を求めよ。
どなたかよろしくお願いします。(ヒントだけでもお願いします。)
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
もともとの系の自由度は4つ。
Aの座標:r,φ1(平面極座標)
Bの座標:L-r,θ,φ2(3次元極座標)
とします。また,「'」で時間微分を表します。
以下,概略のみ。
r' = 0,r'' = 0 を考慮して,
運動方程式のφ1成分より,φ1' = 一定 = ω とかけます。
これで,Aの運動は等速円運動に定まります。
運動方程式のr成分とエネルギー保存を連立させると,
θ(r,ω) = 一定 を得ます。θは,r,ω,エネルギーEにより一意に定まります。
したがって,θ' = 0,θ'' = 0。
以上を考慮すると,運動方程式のθ成分により,
φ2' = 一定 = Ω(r,θ) とおくことができます。
これでBの運動が円錐振り子であることがわかりました。
以上でひとまず,(1)は解決すると思います。
(2)は,運動方程式のr方向成分にもどって復元力をみつけるか,またはエネルギー保存を単振動の形式にもっていくかどちらかの方法をとることになるでしょうね。
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