サイコロで１が出る確率

サイコロで１が出る確率
ひょんなことから数学を思い出そうとして暗闇に入り込みました。
サイコロを１回ふって１が出る確率は 1/6 ですよね。
２回ふって、どちらかに１が出る確率は
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ですよね。
ここまでで間違っていたら指摘していただいて
以下の疑問は無視して下さい。

では、６回ふって、どれかで１が出る確率は？
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1/1 = 1
6/6 の確率ということは必ず１が１回出る？

そんなことは無いですよね、どこかが違っている
眠れない。

No.12 回答者： Ishiwara 回答日時： 2010/06/11 09:55

２枚のコインで考えてみましょう。

「少なくともどちらかにオモテが出る確率」を１/２＋１/２と計算するとこれは１になります。
つまり「確率が１だ」ということは「必ずどちらかに表が出る」という間違った結論になります。
「少なくとも１つにＡが起きる確率」は「１－（どれにもＡが起きない確率）」で計算しなければなりません。

この回答へのお礼

そうですね。
コインを例にしたら 2/2 で必ず表は出る。とは言えないと気が付くはずですね。
しかし、残念ながらたとえそれに気付いても何処が違っているか分からない。

これからは、「どれにもＡが起きない確率」にも頭が回るようにしたいと思います。

勉強になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/13 22:49

No.11 ベストアンサー 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/06/10 01:17

質問者の

>>ここまでで間違っていたら指摘していただいて
>>以下の疑問は無視して下さい。

というコメントを読んでいない回答者が多いようですね。

それはともかく、

1回目に 1 が出る、という事象を A
2回目に 1 が出る、という事象を B

とすると、

P ( A or B ) = P ( A ) + P ( B ) － P ( A and B )

この、P ( A and B ) を引く、という作業が「アフターサービス」の意味です。

よって、

>>２回ふって、どちらかに１が出る確率は
>>1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 ですよね。

これは間違いで、

P ( A or B )
= P ( A ) + P ( B ) － P ( A and B )
= 1/6 + 1/6 － 1/6 * 1/6
= 11/36

A と B が mutually exclusive なら

P ( A and B ) = 0

だから、引かなくても答えは同じになりますが、この質問の場合はこれに該当しません。

この回答へのお礼

アフターサービスの意味が分かりました。そういう事なんですね。

皆さんはコメントを読んでいない、のでは無く、
ご親切に６回振った場合の計算式まで教えて頂いたと感謝しております。

しかし、ここで回答していただいた皆さんは数学者か何かなんでしょうか、
難しい計算をさらさらと短時間で回答を寄せてくれるなんて、
一般的な善良市民には信じられません。
たぶん質問を読んで一瞬で頭の中で論理的な回答が出来てしまうんですね。

お礼日時：2010/06/13 22:44

No.10 回答者： liliass 回答日時： 2010/06/10 00:31

「どれかで１が出る」というのは、「必ず１回は１が出る」ということですか？つまり、「複数回１が出る」場合も可ですか？

そうであれば、１（すべての事象の確率を足した数）から、「すべてで１が出ない」確率、すなわち5/6の6乗を引くと、No.6の方が答えてらっしゃる数字になります。（すべての数を足していらっしゃるので、複数回１が出る場合も含まれています）

1- 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6=1-(5/6)^6=31031/46656

もし、問題が「どれかで１度だけ１が出る」というものであれば、そこからさらに、複数回１が出る確率を引いていかなければならないと思います。

つまり、簡単なところでいうと、
サイコロを2回振って、「少なくとも１回１が出る（2回とも出る場合も可）」確率は
1- (5/6)^2= 11/36
ですが、

「どちらか１度だけ１が出る」確率は、(1,1)になる場合を抜くので、
11/36 - (1/6)^2 =10/36
になるということです。

したがって、

・２回出る場合
(1/6)^2 * (5/6)^4

・３回出る場合
(1/6)^3 * (5/6)^3

という感じで計算した式をどんどん引いていきます。

よって、6回サイコロを振って、「どれかで１度だけ１が出る確率」は、
31031/46656 - {(1/6)^2 * (5/6)^4 + (1/6)^3 * (5/6)^3 + (1/6)^4 * (5/6)^2 + (1/6)^5 * (5/6)^1 + (1/6)^6} = 31031/46656 - 780/46656 = 30251/46656
になります。

この回答へのお礼

長文での説明をありがとうございました。
「必ず１回は１が出る」の意味で質問をしました。
言葉足らずで申し訳ありませんでした。

物凄く単純に考えていた事が恥ずかしく思い知らされました。

お礼日時：2010/06/13 22:32

No.9 回答者： t_saito 回答日時： 2010/06/10 00:16

数学的な意味での確率の定義を参考ＵＲＬに記載されています。

ご参考になれば…

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/pr …

この回答へのお礼

２度も回答いただきありがとうございました。
数学的には他の皆さんが正解だと思いますが、
感覚的は「その時点での1が出る確立は1/6なのです。」
が当っているような気がします。

難しいサイトをご存じなんですね。
覗いてみたのですが、参考もなにも・・・難しい！（笑）
今後何かの時に参考にしたいと思います。

お礼日時：2010/06/13 22:26

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/10 00:03

一回目に出る目と、二回目に出る目の組み合わせを、全て書き出して見ましょう。

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)　の 36 通りです。

一回目に 1 が出る確率は、
{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) } の 6 通りを、総数 36 通りで割って、6/36、
二回目に 1 が出る確率は、
{ (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1) } の　6 通りを、総数 36 通りで割って、6/36。
どちらかに 1 が出る確率を
6/36 + 6/36 と考えたのでは、(1,1) を二度数えてしまったことになりますね。

表をよく睨んで、ちゃんと数えれば、どちらかに 1 が出る組み合わせは
{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1) }
の 11 通りですから、
どちらかに 1 が出る確率は、11/36 です。

この回答への補足

すみません。皆様にお礼と暫しの時間をいただきたくて、
ここの補足をお借ります。

ツイッター的な軽い発想で疑問を投げかけました。
皆様から真剣なお答えをいただき恐縮しております。

実はある試験が今日（時間的には昨日）ありまして、
５択問題が数題あると聞き、
分からなかったら鉛筆を転がして適当に答えたら、
どれか１問でも正解するのではとの思いがよぎったものですから、
サイコロを例にして確率がどうなるかお聞きしました。
幸いに鉛筆を転がさなくても済みましたが、
疑問だけが残ってしまい、眠れない、と愚痴りました。

しかし、さらに分からなくなりました。
ますます眠れない。どうしてくれる。（笑）
じっくり考えたいと思います。
必ずお礼をいたしますので暫く時間を下さい。

補足日時：2010/06/10 00:33

この回答へのお礼

ご丁寧な説明をありがとうございました。

お礼日時：2010/06/13 22:17

No.7 回答者： gcqd75ce 回答日時： 2010/06/09 23:54

運値（うんち）を考慮してませんね。

運のない人だと15回でも1は出ません。

例えば6本の中に1本だけ当たりがあるとします。（仮定）
そうすると6人が引けば、必ず1人の人が当たるので、確率は6分の1に近いです。
まぁ、これも運がないとアレですが。
しかし、誰かが必ず当たります。
サイコロは微妙ですね。
カオス理論を検索してください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
カオス理論を検索してみました。
その中の初期値鋭敏性がまさに今回の自分ですね、
最初からズレているのに６回も振ったらとんでもない計算になりますね。

お礼日時：2010/06/13 22:13

No.6 回答者： hnom_mmym 回答日時： 2010/06/09 23:40

No1です。

質問の意味を間違えてました。
No１の回答は6回ふって、一回だけ１が出る確率でした。

６回振って、どれかで１が出る確率ですので

１回目で１が出る
1/6　　　　　＝7776/46656　　　　　　
+
２回目で１が出る（１回目は１以外）
5/6　×　1/6　＝5/36＝6480/46656
+
３回目で１がでる（１・２回目は１以外）
5/6　×　5/6　×　1/6　＝25/216＝5400/46656
+
４回目で１がでる（１・２・３回目は１以外）
5/6　×　5/6　×　5/6　×　1/6　＝125/1296＝4500/46656
+
５回目で１がでる（１・２・３・４回目は１以外）
5/6　×　5/6　×　5/6　×　5/6　×　1/6　＝625/7776＝3750/46656　
+
６回目で１がでる（１・２・３・４・５回目は１以外)
5/6　×　5/6　×　5/6　×　5/6　×　5/6　×　1/6　＝3125/46656

＝31031/46656

となります

この回答へのお礼

２度も回答いただきありがとうございました。

お礼日時：2010/06/13 22:09

No.5 回答者： cowstep 回答日時： 2010/06/09 23:32

２回とも１が出る場合も含めるかどうか、そこが問題点です。

２回の内、１が１回目か２回目のどちらかで出て、２回とも１が出た場合を含まなければ、
1/6×5/6×2＝10/36＝5/18となりますが、２回とも１が出る場合を含めると、
5/18＋1/6×1/6=11/36となります。
２回とも１が出ない場合は、5/6×5/6＝25/36ですから、２回の内、少なくとも１回は１が出る確率は、
1-25/36＝11/36と考えても、結果は同じです。

この回答へのお礼

ご丁寧な説明をありがとうございました。

お礼日時：2010/06/13 21:58

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2010/06/09 23:29

さいころを２回振って少なくとも１回は１が出る確率は、

(1/6)+(5/6)*(1/6)=11/36
または、
1-(5/6)^2=11/36

さいころを６回振って少なくとも１回は１が出る確率は、
(1/6)+(5/6)*(1/6)+(5/6)^2*(1/6)+(5/6)^3*(1/6)+(5/6)^4*(1/6)+(5/6)^5*(1/6)=31031/46656
または、
1-(5/6)^6=31031/46656


さいころを２回振ってどちらか１回だけ１が出る確率は、
(1/6)*(5/6)*2=10/36

さいころを６回振ってどれか１回だけ１が出る確率は、
(1/6)*(5/6)^5*6=18750/46656

この回答へのお礼

ご丁寧な説明をありがとうございました。
(1/6)+(5/6)*(1/6)+(5/6)^2*(1/6)+(5/6)^3*(1/6)+(5/6)^4*(1/6)+(5/6)^5*(1/6)=31031/46656
これなんか頭が痛くなります。

お礼日時：2010/06/13 21:57

No.3 回答者： OurSQL 回答日時： 2010/06/09 23:20

2つの events が mutually exclusive じゃないので、足し算だけしてアフターサービスがないのは間違っています。

この回答へのお礼

> 足し算だけしてアフターサービスがない
すみません。アフターサービスの意味が分からないです。

お礼日時：2010/06/10 00:05