２つの半径が等しい円柱を直交させたときの共通部分の体積

２つの半径が等しい円柱を直交させたときの共通部分の体積
を求める計算の途中で行き詰まりました。アドバイスお願いします。
２つの円を
y^2+z^2=a^2とx^2+y^2=a^2とします。
重積分で求めるとします。（別解もあるが）
∬√（a^2-y^2）dxdy 領域はx^2+y^2=a^2　0<x,y
x=rcosθ、y=rsinθとおく。
∬√(a^2-r^2sin^2θ)rdrdθ
=∫a^2(1-cos^3θ)／3sin^2θdθ　0<θ＜π／２
この積分で止まってしまいました。
アドバイスお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/10 16:06

#2です。

A#2の補足の質問
>∫ 1/(1+cosθ)dθは簡単に積分して、
> sinθ/(1+cosθ)と求めていますが、そうでもないように思います。
積分は微分の逆です。不定積分は微分すれば被積分関数になります。
「sinθ/(1+cosθ)」を微分して式を整理すれば「1/(1+cosθ)」となることを確認してみてください。
確認できたら積分公式のようにして覚えておきましょう。

もっとも技巧的に積分すれば
∫1/(1+cosθ)dθ
=∫(cosθ+1)/(1+cosθ)^2 dθ
=∫(cosθ+sin^2θ+cos^2θ)/(1+cosθ)^2 dθ
=∫{cosθ(i+cosθ)/(1+cosθ)^2+sinθsinθ/(1+cosθ)^2}dθ
=∫{cosθ/(1+cosθ) + sinθsinθ/(1+cosθ)^2}dθ
=∫[(sinθ)'/(1+cosθ)-sinθ{1/(1+cos(θ)}']dθ
=∫{sinθ/(1+cosθ)}'dθ
=sinθ/(1+cosθ)+C

この回答へのお礼

確かに微分すれば、確認できます。
簡単そうな形をしているけれど、変形に工夫が
必要でちょっと焦ります。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/10 16:18

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/10 13:16

>x=rcosθ、y=rsinθとおく。

x=racosθ、y=rasinθとおく。
>∬√(a^2-r^2sin^2θ)rdrdθ
V=8a∫[0,π/2]∫[0,1] √(1-r^2sin^2θ)r(a^2)drdθ
=8(a^3)/(2sin^2θ)∫[0,π/2]∫[0,1] (r^2)'*sin^2θ(1-r^2sin^2θ)^(1/2)drdθ
=8(a^3)∫[0,π/2]1/(2sin^2θ)[-(2/3)(1-r^2sin^2θ)^(3/2)](r=0,1)dθ
=(8(a^3)/3)∫[0,π/2] [1-(1-sin^2θ)^(3/2)]/(sin^2θ)dθ
=(8(a^3)/3)∫[0,π/2] (1-cos^3θ)/(sin^2θ)dθ

>=∫a^2(1-cos^3θ)／3sin^2θdθ　0<θ＜π／２
係数だけ違うだけですね。分母を1-cos^2θ=(1-cosθ)(1+cosθ)として
(1-cosθ)で分子分母を約分します。

=(8(a^3)/3)∫[0,π/2] (1+cosθ+cos^2θ)/(1+cosθ)dθ
=(8(a^3)/3)∫[0,π/2] ((1/(1+cosθ))+cosθ)dθ
=(8(a^3)/3) [(sinθ/(1+cosθ))+sinθ](θ=0,π/2)
=(8(a^3)/3) [1+1]
=16(a^3)/3

参考URLのやり方の方が簡単です。

参考URL：http://homepage3.nifty.com/sugaku/entyuu.htm

この回答への補足

解答の中の
=(8(a^3)/3)∫[0,π/2] ((1/(1+cosθ))+cosθ)dθ
で、∫ 1/(1+cosθ)dθは簡単に積分して、
sinθ/(1+cosθ)と求めていますが、そうでもないように思います。
定積分だったら、ｔａｎで置換して求めるところですが。
確かに紹介してもらったやり方のほうが、相似な図形なので積分が簡単
です。ただ、図形のイメージがつかめないので、定量的に計算にもちこんで
やりました。

補足日時：2010/06/10 13:42

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/10 12:43

手元の電卓は

「三角関数の有理関数を積分するので t = tan(θ/2) とおけ」
と主張しています.
もちろん, わざわざ極座標に変換しない方が積分は簡単ですが.