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f:V→Wを体K上のベクトル空間VからWへの線形写像とし,v_1,…,v_(r+m)∈Vの一部v_(r+1),…,v_(r+m)がKerfの基底であると仮定します.

このとき,

(1)f(v_1),…,f(v_r)が線形独立 ⇒ v_1,…,v_(r+m)は線形独立
(2)f(v_1),…,f(v_r)がImfの基底 ⇒ v_1,…,v_(r+m)のVの基底
(3)v_1,…,v_(r+m)がVの基底 ⇒ f(v_1),…,f(v_r)はImfの基底

を証明せよという問題なのですが,どれも途中で詰まってしまい,最後まで示せませんでした.どれか一つでも構わないので,教えていただけると助かります.

よろしくお願いします.

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A 回答 (3件)

それで問題ないと思います.


要は基底の定義に素直に従えばいいだけだったのです.
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この回答へのお礼

ありがとうございました.

お礼日時:2010/06/13 21:06

たしかにどこで詰まったか明記しないと


答えても無駄になるな.

ちなみに,一番難しいのは(2)だけども
実際はどれも定義に従って素直にやればとける
基本的なある意味で教育的な問題.

この回答への補足

一応最後まで出来たのですが,自信がないので見てください.
以下,C_1,・・・,C_(r+m)∈Kとします.

(1)
  C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0 ー(※) (C_i∈K)
 とする.両辺にfを作用させると,fは線形写像なので
  C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))=0
 また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
  C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
 ここで仮定よりf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立なので,C_1=・・・C_r=0.
 よって(※)から,
  C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0
 で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_(r+1)=C_(r+m)=0.
 したがってv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立.


(2)
(i)v_1,・・・,v_(r+m)の一次独立性
  (1)より成立する.

(ii)v_1,・・・,v_(r+m)がVを生成することについて
   Vの任意の元をxとすると,f(x)∈Imfで,f(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底より
    f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=f(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)
    ⇔ f(x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r))=0
   と書ける.すなわち
    x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)∈Kerf
   また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
    x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
    ⇔ x=C_1*v_1+・・・+C_r*v_(r+m)
   となる.よってVの任意の元が,v_1,・・・,v_(r+m)の一次結合で書けるので,
   v_1,・・・,v_(r+m)はVを生成する.

(i),(ii)よりv_1,・・・,v_(r+m)はVの基底である.


(3)
(i)f(v_1),・・・,f(v_r)の一次独立性
    C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
   とする.このとき
    f(C_1*v_1+・・・+C_r*v_r)=0
    ⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r∈Kerf
   ここで,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
    C_1*v_1+・・・+C_r*v_r=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
    ⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r-C_(r+1)*v_(r+1)-・・・-C_(r+m)*v_(r+m)=0
   となる.仮定よりv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_1=・・・=C_(r+m)=0
   よってf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立.

(ii)f(v_1),・・・,f(v_r)がImfを生成することについて
   Imfの任意の元をf(x)とすると,x∈Vで,v_1,・・・,v_(r+m)がVの基底より
    x=C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
   と書ける.このとき,fが線形写像であることから
    f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))
   で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
    f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)
   よって,Imfの任意の元がf(v_1),・・・,f(v_r)の一次結合で書けるので
   f(v_1),・・・,f(v_r)はImfを生成する.

(i),(ii)よりf(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底である.



見にくくて申し訳ありませんが,間違っているところがあれば教えてください.

補足日時:2010/06/13 14:46
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どこで詰まったのかを補足してください。

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