f:V→Wを体K上のベクトル空間VからWへの線形写像とし,v_1,…,v_(r+m)∈Vの一部v_(r+1),…,v_(r+m)がKerfの基底であると仮定します.
このとき,
(1)f(v_1),…,f(v_r)が線形独立 ⇒ v_1,…,v_(r+m)は線形独立
(2)f(v_1),…,f(v_r)がImfの基底 ⇒ v_1,…,v_(r+m)のVの基底
(3)v_1,…,v_(r+m)がVの基底 ⇒ f(v_1),…,f(v_r)はImfの基底
を証明せよという問題なのですが,どれも途中で詰まってしまい,最後まで示せませんでした.どれか一つでも構わないので,教えていただけると助かります.
よろしくお願いします.
No.2
- 回答日時:
たしかにどこで詰まったか明記しないと
答えても無駄になるな.
ちなみに,一番難しいのは(2)だけども
実際はどれも定義に従って素直にやればとける
基本的なある意味で教育的な問題.
この回答への補足
一応最後まで出来たのですが,自信がないので見てください.
以下,C_1,・・・,C_(r+m)∈Kとします.
(1)
C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0 ー(※) (C_i∈K)
とする.両辺にfを作用させると,fは線形写像なので
C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))=0
また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
ここで仮定よりf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立なので,C_1=・・・C_r=0.
よって(※)から,
C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)=0
で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_(r+1)=C_(r+m)=0.
したがってv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立.
(2)
(i)v_1,・・・,v_(r+m)の一次独立性
(1)より成立する.
(ii)v_1,・・・,v_(r+m)がVを生成することについて
Vの任意の元をxとすると,f(x)∈Imfで,f(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底より
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=f(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)
⇔ f(x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r))=0
と書ける.すなわち
x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)∈Kerf
また,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
x-(C_1*v_1+・・・C_r*v_r)=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
⇔ x=C_1*v_1+・・・+C_r*v_(r+m)
となる.よってVの任意の元が,v_1,・・・,v_(r+m)の一次結合で書けるので,
v_1,・・・,v_(r+m)はVを生成する.
(i),(ii)よりv_1,・・・,v_(r+m)はVの基底である.
(3)
(i)f(v_1),・・・,f(v_r)の一次独立性
C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)=0
とする.このとき
f(C_1*v_1+・・・+C_r*v_r)=0
⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r∈Kerf
ここで,v_(r+1),・・・,v_(r+m)はKerfの基底なので,
C_1*v_1+・・・+C_r*v_r=C_(r+1)*v_(r+1)+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
⇔ C_1*v_1+・・・+C_r*v_r-C_(r+1)*v_(r+1)-・・・-C_(r+m)*v_(r+m)=0
となる.仮定よりv_1,・・・,v_(r+m)は一次独立なので,C_1=・・・=C_(r+m)=0
よってf(v_1),・・・,f(v_r)は一次独立.
(ii)f(v_1),・・・,f(v_r)がImfを生成することについて
Imfの任意の元をf(x)とすると,x∈Vで,v_1,・・・,v_(r+m)がVの基底より
x=C_1*v_1+・・・+C_(r+m)*v_(r+m)
と書ける.このとき,fが線形写像であることから
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_(r+m)*f(v_(r+m))
で,v_(r+1),・・・,v_(r+m)∈Kerfより
f(x)=C_1*f(v_1)+・・・+C_r*f(v_r)
よって,Imfの任意の元がf(v_1),・・・,f(v_r)の一次結合で書けるので
f(v_1),・・・,f(v_r)はImfを生成する.
(i),(ii)よりf(v_1),・・・,f(v_r)はImfの基底である.
見にくくて申し訳ありませんが,間違っているところがあれば教えてください.
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