X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独立な確率変数とする、このとき、X+Y、X/Yの分布は?
  頭悪いです、すみません~

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A 回答 (3件)

正規分布の再生性は応用上たいへん重要なので,覚えてくださいね。


コーシー分布の密度関数の導出も確認してください。
密度変換の公式などは,大丈夫ですね。
「X,Yは正規分布(0,1)に従う互いに独」の回答画像3
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>X+Yは、N(0,√2) に従います。



すいません。
X+Yは、N(0,(√2)^2) に従います。
の間違いです。
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X+Yは、N(0,√2) に従います。



X/Yは、コーシー分布 Cauchy(0,1) に従います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC% …
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この回答へのお礼

ありがとうございます、でも どうしてですか その導き過程を教えていただけないでしょうか

お礼日時:2010/06/15 22:49

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Q二項分布と正規分布の違い?

を、教えていただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どぞ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

正規分布は二項分布の良好な近似値ではありますが、両者は
「二項分布はABどちらかの値を取る全てのデータの分布」であり
「正規分布は多数のデータのうちから任意の数だけ取り出した時
に発生する分布」ですから、データのサンプル方法が違うんです。

逆に言えば、双方のサンプル数が相当に多く、かつ、サンプルの
取りえる値が適切ならば、双方は同じ形状のグラフになります。

数学的に言えば、二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく
ことは、中心極限定理の特別な場合に相当する・・・ってことに
なるんですが。

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q二項分布、ポアソン分布、正規分布の問題

明日は確率のテストです。普段授業を聞いてないので勉強していて簡単な問題で躓いてしまいました。簡単だとは思いますが教えてください。

(1)不良品10%の製品の山から製品4個をでたらめにとる時この中に含まれる不良品の個数を確率変数Xにとる
(a)P(X=2)を求めよ
(b)P(X>=2)を求めよ

(2)ある製品では1%が不良品である。不良品を少なくとも1つ含む確率が95%を越すためには、少なくとも何個の製品を無作為抽出しなければならないか?

(3)確率変数Xが2項分布B(1000,1/2)に従う時、確率P(X>=400)の近似値を求めよ。

できればどういう公式を使って解いているのかも教えてくれたら幸いです。ずうずうしいとは思いますがヨロシクお願いします。

Aベストアンサー

お~おめでとうございます!!
全部できましたか?
もう今日ですが,テスト頑張って下さい!!

Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
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Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

Q二項分布について

今、授業で二項分布などをやってるのですがいまいちわかりません。
そこで2項分布と正規分布についてそれぞれの特徴を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

二項分布と正規分布の重要な違いは、一方が離散型確率変数の分布であり、もう一方は連続型である。
また、試行回数を増やすと二項分布はある適当な正規分布に近いので、二項分布をその正規分布で近似できるという関係がある。

Qy1,y2,…ym:一次独立でV=span{x1,x2,…,xn}ならm≦n

[問]体F上の線形空間V∋y1,y2,…ym:一次独立.
V=span{x1,x2,…,xn} (x1,x2,…,xn∈V)
とする時(つまり、x1,x2,…,xnはVのspan set)、
m≦nとなる事を示せ。

[証]
dimV=Lと置くと、L≧mで
(i) L=mの時
V=span{y1,y2,…,ym} 且つ y1,y2,…ym:一次独立
が成立せねばならない(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
ここでm>nと否定して矛盾を引き出してみる。
その場合,先ず、x1,x2,…xn:一次従属でなければならない(∵dimの定義)。

そこから先に進めません。どう書けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

QNo.3413858 この写像がwell definedである事の証明
QNo.3413875 y,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

↑これらはどうなったのでしょう?放置状態?

本題.
>(∵dimの定義「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」)。
これだけ知ってれば十分です.
まず,L=dim(V)としましょう.
この時点で m <= L です(証明できますか?).
また,「x1,x2,…,xnはVのspan set」ならば
基底は span setの部分集合だから(証明できますか?)
L <= n
よって,m<=n

ただし,この手の証明は
教科書の定義や論理展開の順番に激しく依存します.
けど,
dimの定義が「線形空間を張る一次独立なベクトルの最大個数」
であるというならば,
これだけから導出できます.
#なおこの定義は一般的なものよりもかなり強い定義です.

Q負の二項分布の名前の由来

負の二項分布は、何故「負の二項分布」と呼ばれているのでしょうか。

昔どこかの教科書で、二項分布で何かのパラメータを負に拡張することで得られる、と読んだ覚えがある(うろ覚えですが)のですが、式をいじくってもいまいち分かりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

下記でどうぞ
http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/neg-nikou.html

Q多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計

多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計算するには?

xとyに関する多変数関数f(x,y)と、g(x,y)が与えられたとき、微分∂f/∂gを計算するにはどうしたらよいでしょうか?(そもそも偏微分なのだろうか?)

具体例で考えます。

f(x,y) = (x+2y)^2
g(x,y) = x+2y

である場合。当然∂f/∂g = 2 gです。このような場合は問題ありませんが、

f(x,y) = x + 3y
g(x,y) = x + 2y

のような場合はどのように考えたらよいのでしょうか?

全微分の関係を使って考えてみました。

df(x,y) = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 3 dy + O(dx,dy)

dg(x,y) = (∂g/∂x) dx + (∂g/∂y) dy + O(dx,dy)
= dx + 2 dy + O(dx,dy)

∂f/∂g = limit_{dx→0,dy→0} df/dg を考えれば良いのではないかと。

どの方向から極限をとっても極限値が変わらないと仮定して、
つまりdx = dyとして、極限を考えると。

∂f/∂g = 4/3

とても正しいとは思えないのですが、他にどう考えればよいのかわからず悩んでいます。
そもそも、微分が存在しないと言うことなのでしょうか?

質問は以下の2点です。
(1)この様な場合、どのように考えていけばいいのでしょうか?
(2)この様な微分に関して、数学的に何か名前があるのでしょうか?分野名など。

以上
よろしくお願いします。

多変数関数f(x,y)の多変数関数g(x,y)による微分∂f/∂gを計算するには?

xとyに関する多変数関数f(x,y)と、g(x,y)が与えられたとき、微分∂f/∂gを計算するにはどうしたらよいでしょうか?(そもそも偏微分なのだろうか?)

具体例で考えます。

f(x,y) = (x+2y)^2
g(x,y) = x+2y

である場合。当然∂f/∂g = 2 gです。このような場合は問題ありませんが、

f(x,y) = x + 3y
g(x,y) = x + 2y

のような場合はどのように考えたらよいのでしょうか?

全微分の関係を使って考えてみました。

df(x,y) = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂...続きを読む

Aベストアンサー

#2です。

A#2の補足に関連して

偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。

∂f/∂gを考える場合
g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。
そしてuで偏微分するときはv=ー定(定数)として扱わないといけません。
A#2では 
u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。
g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。
このとき f=u+v, v=yと書けますので、他の一定とみなすべき変数vはyに相当します。
v=y=一定とした時
∂f/∂g=∂(u+v)/∂u=1 (v=y=一定の元で偏微分が存在し定義される)
となります。

また、A#2の補足の疑問点の場合には
g=x+2y=u,f=u+u/2-x/2=(3/2)u-vと変形できるので
u=x+2y,v=x/2という変数変換を使い、∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂uで定義しています。
この偏微分では、
v=x/2=一定とした時
∂f/∂g⇔∂((3/2)u-v)/∂u=3/2 (v=x/2=一定の元で偏微分が存在し定義される)
となります。

偏微分の変数u,vの定義(変数変換)が異なれば、その変数で定義される
∂f/∂g=∂f(u,v)/∂u
のf(u,v)が異なってきますので偏微分も異なってくるのは当然のことです。

元の独立変数x,yに戻って考えれば、yを一定にして∂f/∂gを考えるか、
xを一定にして∂f/∂gを考えるか、といった立場の違いにより、偏導関数も
異なってくるということですね。

#2です。

A#2の補足に関連して

偏微分の定義に帰って考えれば理解しやすいかと思います。

∂f/∂gを考える場合
g=x+2y=uとしてuを1つの変数として考え、偏微分ですからf=x+3yをuとu以外の他の変数vを使って f(x,y)→f(u,v)の様に表現しないといけません。
そしてuで偏微分するときはv=ー定(定数)として扱わないといけません。
A#2では 
u=x+2y,v=yという変数変換を使い、∂f/∂⇔∂(u+v)/∂uで定義しています。
g=x+2y=uと1つの変数で置き換えx+2yは一固まりとして扱わないといけません。
このとき f=u+v, v=yと書...続きを読む

Q負の二項分布の積率母関数

負の二項分布の積率母関数がわかりません(><;)
二項分布の積率母関数だとM(t)=(pe^t+(1-p))^m と表せますよね??こんな風に負の二項分布の積率母関数も表せないでしょうか??
独立な確率変数X、Yに関して、再生性を証明したいのですが・・・
どなたかよろしくお願いします!!m(_ _)m

Aベストアンサー

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2,...)
=Σ(-1)^k*C[-n,k]*p^n*(1-p)^k*e^((n+k)t)  (C[-n,k]は一般の二項係数)
=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(1-p)^(x-n)*e^(xt)  (x=n+k)
∴f(x)=Σ(-1)^(x-n)*C[-n,x-n]*p^n*(-1+p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)
となる。二項係数を
C[-n,x-n]=(-n)(-n-1)…(-x+1)/(x-n)!
=(-1)^(x-n)*C[x-1,n-1]
と変形すると、見慣れた式になる。
f(x)=ΣC[x-1,n-1]*p^n*(1-p)^(x-n)  (x=n,n+1,n+2,...)

独立同一の幾何分布にしたがう確率変数の和の確率分布が負の二項分布でした。だから再生性はほとんど自明ですが、せっかくだから。。。

幾何分布の確率関数f(x)=p(1-p)^(x-1) (x≧1)
積率母関数M(t)=E[e^(xt)]
=Σp(1-p)^(x-1)*e^(xt)
=Σ(pe^t)*((1-p)e^t)^(x-1)
=(pe^t)/(1-(1-p)e^t)

よって、負の二項分布(n,p)の積率母関数は
E[e^(xt)]={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n

ついでに、この式から確率関数が求められて、
M(t)={(pe^t)/(1-(1-p)e^t)}^n
=p^n*e^nt*Σ(-1)^k*C[-n,k]*(1-p)^k*e^kt  (k=0,1,2...続きを読む

QX1,X2,...Xnが連続独立同一分布のランダム変数の時、中央値や平

X1,X2,...Xnが連続独立同一分布のランダム変数の時、中央値や平均値ってどういう分布を取るのでしょうか?
独立同一分布からよく分かっていないので初歩にも分かるように説明していただきたいです。

Aベストアンサー

1 まず、言葉の意味をはっきりさせます。

(分布、分布関数)
「分布」自体の定義は面倒なので、代わりに「分布関数」を定義します。Xを確率変数として、tを実数とします。「Xがt以下になる確率」を「Xの分布関数」といいます。分布の性質は、分布関数によって完全に特徴付けられます。この意味で、分布を知ることと分布関数を知ることとは、同義です。なお、分布関数は、0から1までの値をとる広義単調増加関数(s<tならF(s)≦F(t))です。

(連続、独立、同一)
 Xの分布関数をF(t)とします。Xの分布が「連続」であるとは、F(t)が連続関数であることを意味します。
 確率変数X1,…,Xnの分布関数をF1(t),…,Fn(t)とします。X1,…,Xnが「独立」であるとは、任意の実数t1,…,tnに対して「X1≦t1、…、Xn≦tnとなる確率」がF1(t)×…×Fn(t)となることを意味します。
 X1,…,Xnの分布が「同一」であるとは、F1(t)=…=Fn(t)であることを意味します。

(分布平均、観測平均)
 「平均」という言葉には、いくつかの意味があります。ここでは、混乱を避けるため、次のように使い分けることにします。
 「分布平均」 確率変数Xの期待値
 「観測平均」 確率変数X1,…,Xnの単純平均((X1+…+Xn)/n)。

(分布中央値、観測中央値)
 同様に、「中央値」についても次のように使い分けることにします。
 「分布中央値」 F(t)=1/2 となるt
 「観測中央値」 X1,…,Xnのうち小さい方から(n+1)/2番目の値(nが奇数のとき)、又はn/2番目の値とn/2+1番目の値の単純平均(nが偶数のとき)

2 観測平均の分布

 ご質問の意味は、観測平均や観測中央値の分布がどうなるか、ということと解します。観測平均や観測中央値は、それ自体が確率変数なので、その分布を考えることができるのです。以下、X1,…,Xnは、独立で同一の分布に従う確率変数とします(「連続」の仮定は不必要)。

 観測平均の分布は、「X1/n の分布をn個畳込んだもの」となります。「」内の意味が難しいかもしれませんが、雰囲気として、一般的手法が確立していることが理解できると思います。

 とくに、X1が分布平均μ、分散σ^2の正規分布に従うとき、観測平均は、分布平均μ、分散(σ^2)/nの正規分布に従います。

 また、X1が正規分布に従わなかったとしても、緩い条件が満たされたなら、nが大きいとき、観測平均は、分布平均μ、分散(σ^2)/nの正規分布に近似的に従うことが知られています(中心極限定理)。

3 観測中央値の分布

「X1,…,Xnのうち小さい方からk番目の値」の分布関数をG(t,k,n)とします。G(t,k,n)は、具体的に

  G(t,k,n)=Sum(Comb(n,r)・F(t)^r・(1-F(t))^(n-r)| r=k,…,n)

となります。Comb(n,r)は、n個からr個を選ぶ組み合わせの個数で、F(t)は、X1の分布関数で、Sum(| r=k,…,n)は、rがkからnに至るまでの総和を表します。

 観測中央値の分布関数は、nが奇数のとき、

  G(t,(n+1)/2,n)

となります。nが偶数のときは、面倒なので省略します。ただ、nが大きいときは、奇数のときの式を使っても大差ありません。

 もし、X1の分布中央値が確定するなら、これをaとして、次が成立します。

  (1) 観測中央値の分布中央値は、aに一致する。

  (2) εを正数とする。観測中央値がa-ε以下又はa+ε以上になる確率は、nが大きくな
    るとき、0に収束する。すなわち、観測中央値は、nが大きくなるに従い、aの近辺
    に集まるようになる。

 なお、X1の分布中央値は、いつも確定すると限りません(例えば、F(t)のグラフがF(t)=1/2となるtを含む区間で水平になるときは、分布中央値が確定しない)。

(参考)伊藤清(1953),"確率論",岩波書店

1 まず、言葉の意味をはっきりさせます。

(分布、分布関数)
「分布」自体の定義は面倒なので、代わりに「分布関数」を定義します。Xを確率変数として、tを実数とします。「Xがt以下になる確率」を「Xの分布関数」といいます。分布の性質は、分布関数によって完全に特徴付けられます。この意味で、分布を知ることと分布関数を知ることとは、同義です。なお、分布関数は、0から1までの値をとる広義単調増加関数(s<tならF(s)≦F(t))です。

(連続、独立、同一)
 Xの分布関数をF(t)とします。Xの分布が「連...続きを読む


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