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x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。
という問題です。出来るだけ詳しい回答をお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと


u^2-v=1
よって
v=u^2-1 (1)
uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3

さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。
u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3
よってOKです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。助かりました。

お礼日時:2010/10/02 17:49

こんにちは。


問題文の書き間違えではありませんか?

本当に
「x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。」
という問題なら、答えは、最大値も最小値も1です。

この回答への補足

すみません。間違ってました。求めるものはuの最大値と最小限です。

補足日時:2010/06/19 02:40
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この回答へのお礼

よく質問を見ないといけませんね…すみませんでしたorz

お礼日時:2010/10/02 20:23

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