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整数論にて、整数 a , b に対して、「 a // b 」と言う記号はあるのでしょうか。

ttp://www.hyuki.com/dig/relprime.html
に於いて、

素因数は、ベクトル空間の直交基底に似ている。素因数を掛け合わせて整数を作るのは、直交基底が空間を張るのに似ている。「整数 a と b が互いに素」を「 a ⊥ b 」と表記することがあるのも、むべなるかな。

とあります。また、2つのベクトル v_0 , v_1 のドット積、クロス積に対し、

v_0 ⊥ v_1 ⇒ v_0 ・ v_1 = 0
v_0 // v_1 ⇒ v_0 × v_1 = 0
と言う性質もあります。因みに、整数 a が整数 b の約数であることを、 a | b と表します。他にも、この様な整数論に於ける主要な記号を列挙して頂けると幸いです。

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A 回答 (4件)

>aとbをそこでいう素因数を基底とした「ベクトル表示」したときに、aの係数とbの係数がちょうど整数倍になっているとき、



そのページは有理数について考えているわけですが、
整数にかぎってしまうと、この定義だと
a//b ⇔ a|b または b|a
というあんまりおもしろくない関係になりますね。
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この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳在りませんでした。

単純に、a//bは、a⊥bの否定と捉えて良さそうです。
既約剰余類群の件に就いても自分なりに答えを出したので、良かったら御覧下さい。

お礼日時:2010/07/22 22:18

a//b こんな記号は一般的には使われてはいないでしょうが。



その参考ページのちょっとしたに
「2005-04-11 09:58:01 - 素数を基底とした無限次元のベクトル空間」
という項があります。
a//b は、aとbをそこでいう素因数を基底とした「ベクトル表示」したときに、aの係数とbの係数がちょうど整数倍になっているとき、とすればとりあえずはそれっぽいですね。

この回答への補足

補足日時:2010/07/11 22:08
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>素数を基底とした無限次元のベクトル空間
参考ページに拠って定義されたベクトル空間では更に、以下の事が言えると思います。

符号ビット、素数を底とした指数関数(これ自体がベクトル、つまり基底)
→1次独立

素数以外の数の底の指数関数が混ざっている
→1次従属

無理矢理記号で表すと、

1次結合Σ_{i=1}^n(k_i×v_i)が1次独立⇔⊥_{i=1}^n(k_i×v_i)
1次結合Σ_{i=1}^n(k_i×v_i)が1次従属⇔//_{i=1}^n(k_i×v_i)

と、表す事が出来ると思うのです。拠って、既約余剰類群は、

(Z/mZ)^⊥

と表すべきであり、約数で在る事は、a|bでは無く、

a//b

と表しても良さそうだと思いました。

お礼日時:2010/06/25 08:28

整数論には詳しくありませんが,記号に関する悩みが共通していますので投稿しました.



http://www.hyuki.com/dig/relprime.html

にこだわる必要はないと思います.

数学辞典 第四版では,p.184 に,
既約剰余類群が,(Z/mZ)^* で表示されています.また,
既約剰余類は,(Z/mZ)^× で表示されています.

a // b と言う記号は数学辞典 第四版にはありません.

釈迦に説法かも知れませんが,数学では記号の使い方は自由です.
しかし,私は以下の事に留意して,論文を書くようにしています.

(1),習慣として使われているものを,なるべく使う.
(2),新しい記号を使う場合は,明確な記号の定義をして使う.

上記は当たり前のことですが,私の関係している結び目理論の分野でも,同じ意味の記号を
論文の著者により,それぞれ,◎ や *^{-1} や *^{⌒} のように異なった使い方をします.

その分野で使われる記号を極力つかいますが,どうしても気に入らない記号があります.
その場合は,遠慮無く新しい記号を使います.
文献や論文を読む人は一般に,これを嫌いますが仕方ありません.

また,あまりにも不適切な記号というのもあります.これは,やはり,論文や本を書く人のセンスですから,仕方のない事に属すのでしょう.

とりとめのない事を書いて時間を取らせましたが,お許し下さい.
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この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

極端な話、定義( := 及び =^def )を使って明記してしまえば良いと言う事ですね。

それでは他の記号については言及せずに、純粋にタイトルの議題のみ聞いて、後
1~2件の回答が集まれば締め切っても良さそうです。

お礼日時:2010/06/21 20:18

>整数論に於ける主要な記号を列挙して頂けると幸いです。



記号を列挙することにどのような意味があるのか補足にどうぞ。

この回答への補足

ただ「記号を列挙」というのもキリが無いので...

質問に掲げたのを思い出していただいて、幾何学で使われている記号で、実は整数論でも
使われている。それはかくかくしかじか…と言う理由が在るからだ。と言うような物を
知っているものを、あまり多すぎるのも本題と反れるので、補足的に1、2ヶ挙げて頂ければ、
と思います。

実は、「既約余剰類群」の記号をどう表そうと悩んでいて、大多数は、

(Z/mZ)^×
と成っているのですが、"×"は集合(群)に対し、「集合(群)から零元を除いた物」に使いたく、
既約余剰類群の条件は、整数mと代表元が、「互いに素」、つまり、代表元をiとすると、m⊥iと
書けるので、

(Z/mZ)^⊥
と書くべきだと思うのです。しかし、"⊥"の箇所を、"†"として、

(Z/mZ)^†
と言うのも(ごく個人的ながら)捨てがたく、果たして、"⊥"と言う記号で「なければならない」
根拠がこの記号にあるのか、と言うのが、記号を列挙する個人的な理由です。それだけの理由
が無ければ、"†"として、「互いに素」も、m†iと書いてしまって、勝手に使用しようと思います。

飽くまでも本題はタイトルの通りなので悪しからず。

補足日時:2010/06/21 00:48
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