∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx

∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
を留数の定理を使う解き方が分かりません

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2010/06/22 00:09

∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx

f(z)=1/(z^3+1) (zは複素変数)を考えて、積分路を以下のように取ってみると何か上手くいった。
実軸上(0,R) , 0＜argz＜2π/3 , Re^i(2π/3)と原点とを結ぶ直線で囲まれた扇形で考えた。
この様な扇形積分路でf(z)=1/(z^3+1)はz=e^(iπ/3)で1位の極である。
よってその点における留数は1/3e^(i2π/3)

・・・で計算が違っていなければ、実軸上とRe^i(2π/3)と原点とを結ぶ直線路での積分が残って
∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx - e^i(2π/3)∫[0,∞]{1/(x^3+1)}dx
(1-e^(i2π/3))∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx =2πi・留数
となる。

これを計算すると
∫[0,∞] {1/(x^3+1)}dx = 2π/3√3 (検算は任せる！)

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2010/06/22 12:36

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/06/22 02:46

検算

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5 …

計算法も＃１の方の方法でＯＫです。