aが正の実数で、f(x)=|x|^a, f(0)=0のとき、
x≠0とすると、f'(x)はいくつになりますか?
x=0とすると、f(x)が微分可能であるためのaの条件は何ですか?あと、そのときのf'(0)は何ですか?
申し訳ないですが教えてください。

A 回答 (2件)

x>0 のとき f(x) = x^a,


x<0 のとき f(x) = (-x)^a = ((-1)^a)*x^a

ですから,x≠0のときは(微分可能なので)公式を用いてふつうに微分すればよいと思います。(難しく考えすぎ?)

後半は「x = 0で微分可能である条件を求めよ」ということでよろしいのでしょうか。

x>0 のとき {f(x)-f(0)}/(x-0) = x^(a-1)
x<0 のとき {f(x)-f(0)}/(x-0) = -(-x)^(a-1)

ですから,x = 0における右微分係数と左微分係数がともに存在する条件は a-1≧0 で,そのうち a = 1のときだけは一致しませんから,

f(x)がx = 0で微分可能であるための条件は a>1,
そのとき f '(0) = 0

ところで,この問題文を見る限りでは純粋に高校数学だと思うのですが,なぜ「大学の微積」というタイトルをつけたのでしょうか。
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x>0のときf(x)=x^a f’(x)=ax^(a-1)


x<0のときf(x)=(-x)^a f’(x)=-a(-x)^(a-1)

x=0のとき
f’(0)=lim(|h|^a-0)/h
の極限値があるかどうか。
h>0のときとh<0のときに分けて調べます。
結論はa>1のときに右極限と左極限が一致する。
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