線形写像に関する次元公式 dimV=dim Ker(φ)+dimφ(V) を用いて『有限次元ベクトル空間の線形変換φは、単写であることと、全写であることが同値である』ことを証明せよ。

という問題なのですが、どのような手順を踏んでいったらよいのか分かりません。ヒントで十分ですのでぜひお手伝いしていただけたらと思います。
お願いします。

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A 回答 (3件)

#1の者です。


認めることが多すぎて,問題として述べることがほとんどないことが,気になってはいました。
結局,「次元,単射,全射がよくわからない」ということでしょうか。

φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」(「単射」の定義)
     ⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」(線型性より)
     ⇔「φ(v)=0 ならば v=0」
定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが,上の表記と同値ですね。

次に,全射についてですが,純粋な包含関係ではなく,次元で決まってしまうところが,線型空間の特殊なところです。

φが全射 ⇔ φ(V)=V ⇔ dim(V)=dim(φ(V))
の最後の同値関係を示すには,

WをVの線型部分空間(W⊆V)とするとき,
W=V ⇔ dim(W)=dim(V)

であることを示せば十分です。
次元が「線型独立なベクトルの最大個数」もしくは「基底をなすベクトルの個数」であることを考えれば,⇒は明らかですね。逆を示します。

{w_1,w_2,・・・,w_n}をWの基底とします。
(n=dim(W)=dim(V))

vをVの任意のベクトルとすると,線型独立なベクトルの個数の最大性より,v,w_1,w_2,・・・,w_n は線型従属となります。
したがって,(c,c_1,c_2,・・・,c_n)≠(0,0,・・・,0)
なるスカラーを用いて

 cv+c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

と表されます。ここで,c=0とすると,

 c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

より c_1=c_2=・・・=c_n=0 となって仮定に反するので,
c≠0です。
そこで,-c_k/c = a_k(k=1,2,・・・,n)とおくと

 v = a_1*w_1+a_2*w_2+・・・+a_n*w_n ∈ W

となって,V⊆Wが示されました。

以上の議論は,次元定理(次元公式)に行き着くまでに,何度か現れる手法です。
問題文では「・・・は認めてよい」となっていますが,勉強としてはその部分の確認から始める方が良いと思います。
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こんにちは。

#1の方の方法でいいと思いますよ。
それでも難しいなら、例を挙げてみたいと思います。

線形写像 f:R^n→R^n
に対して上のことを示します。

fが単射なら、Ker f={0}.故に次元公式から
dim(Im f)=n ∴Im f=R^n
逆に、fが全射なら、Im f=R^n
故に、dim(Im f)=nだから次元公式から
dim(Ker f)=0.従って、Ker f={0}

同様にR^n=Vとすれば証明できるのでは。

また、f:単射⇔Ker f={0}
というのは、定義とfが線形だから
f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2)
がいえるので、
f(v)=0⇒v=0(v∈R^n[又はV])
が成り立つのと同値ですね。
さらに、dim(Im f)=dim f(V)も定義から分かりますね。
それでは、頑張って下さい。
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この次元公式を認めれば,



Ker(φ)={0} ⇔ φ(V)=V

は明らかなのではないでしょうか。

(Ker(φ)={0}は単射の言い換え,φ(V)=Vは全射の言い換え)

この回答への補足

(?.?) 申し訳ありません。
もう少し詳しく教えていただけますか。

補足日時:2003/07/11 20:55
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【固有値】
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(λ-1)(λ-2)^2=0
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【固有ベクトル】
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 {-X1+2X2+X3=0
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| 0 0 1||X2|=0
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∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

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X3=s-t

∴固有ベクトル
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 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
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