線形写像に関する次元公式 dimV=dim Ker(φ)+dimφ(V) を用いて『有限次元ベクトル空間の線形変換φは、単写であることと、全写であることが同値である』ことを証明せよ。

という問題なのですが、どのような手順を踏んでいったらよいのか分かりません。ヒントで十分ですのでぜひお手伝いしていただけたらと思います。
お願いします。

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A 回答 (3件)

#1の者です。


認めることが多すぎて,問題として述べることがほとんどないことが,気になってはいました。
結局,「次元,単射,全射がよくわからない」ということでしょうか。

φが単射 ⇔「φ(u)=φ(v) ならば u=v」(「単射」の定義)
     ⇔「φ(u-v)=0 ならば u-v=0」(線型性より)
     ⇔「φ(v)=0 ならば v=0」
定義は「u≠v ならば φ(u)≠φ(v)」と表されることもありますが,上の表記と同値ですね。

次に,全射についてですが,純粋な包含関係ではなく,次元で決まってしまうところが,線型空間の特殊なところです。

φが全射 ⇔ φ(V)=V ⇔ dim(V)=dim(φ(V))
の最後の同値関係を示すには,

WをVの線型部分空間(W⊆V)とするとき,
W=V ⇔ dim(W)=dim(V)

であることを示せば十分です。
次元が「線型独立なベクトルの最大個数」もしくは「基底をなすベクトルの個数」であることを考えれば,⇒は明らかですね。逆を示します。

{w_1,w_2,・・・,w_n}をWの基底とします。
(n=dim(W)=dim(V))

vをVの任意のベクトルとすると,線型独立なベクトルの個数の最大性より,v,w_1,w_2,・・・,w_n は線型従属となります。
したがって,(c,c_1,c_2,・・・,c_n)≠(0,0,・・・,0)
なるスカラーを用いて

 cv+c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

と表されます。ここで,c=0とすると,

 c_1*w_1+c_2*w_2+・・・+c_n*w_n=0

より c_1=c_2=・・・=c_n=0 となって仮定に反するので,
c≠0です。
そこで,-c_k/c = a_k(k=1,2,・・・,n)とおくと

 v = a_1*w_1+a_2*w_2+・・・+a_n*w_n ∈ W

となって,V⊆Wが示されました。

以上の議論は,次元定理(次元公式)に行き着くまでに,何度か現れる手法です。
問題文では「・・・は認めてよい」となっていますが,勉強としてはその部分の確認から始める方が良いと思います。
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こんにちは。

#1の方の方法でいいと思いますよ。
それでも難しいなら、例を挙げてみたいと思います。

線形写像 f:R^n→R^n
に対して上のことを示します。

fが単射なら、Ker f={0}.故に次元公式から
dim(Im f)=n ∴Im f=R^n
逆に、fが全射なら、Im f=R^n
故に、dim(Im f)=nだから次元公式から
dim(Ker f)=0.従って、Ker f={0}

同様にR^n=Vとすれば証明できるのでは。

また、f:単射⇔Ker f={0}
というのは、定義とfが線形だから
f(v_1-v_2)=f(v_1)-f(v_2)
がいえるので、
f(v)=0⇒v=0(v∈R^n[又はV])
が成り立つのと同値ですね。
さらに、dim(Im f)=dim f(V)も定義から分かりますね。
それでは、頑張って下さい。
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この次元公式を認めれば,



Ker(φ)={0} ⇔ φ(V)=V

は明らかなのではないでしょうか。

(Ker(φ)={0}は単射の言い換え,φ(V)=Vは全射の言い換え)

この回答への補足

(?.?) 申し訳ありません。
もう少し詳しく教えていただけますか。

補足日時:2003/07/11 20:55
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という問題についてなのですが、
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g,fともに単射ならばg○fは単射

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Aベストアンサー

よくやっちゃうけど「凡例」じゃなくて「反例」だよね. で, 「反例をあげる」ときには, 具体的な物を見せて「その場合に命題が成り立たない」ことを示せば OK.
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(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
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でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
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正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

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|0 1 1||X2|=0
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 {-X1+2X2+X3=0
X3=kとおくと
X2=-k,X1=-k

∴固有ベクトル
  |-1|
p1=k|-1|
  | 1|

(ii)λ=2(重解)の時
|-1 2 2||X1|
| 0 0 1||X2|=0
|-1 2 0||X3|

∴{-X1+X2+X3=0
 {X3=0
 {-X1+2X2=0

X3=X1-X2
X1=s,X2=tとおくと
X3=s-t

∴固有ベクトル
  | 1 | |0|
p2=s| 0 |+t|1|
 |0.5| |1|より

直行行列
  |-1 1 0|
P= |-1 0 1|
  | 1 0.5 1|
とする。
また、
直交行列の逆行列
   |-1 -2 2|
P-1= 1/5| 4 -2 2|
   |-1 3 2|

これらを用いて計算すると
    |1 -6 -4|
P-1AP= |0 14 36|
    |0 1 26|

となり、途方にくれてしまいます。
|1 0 0|
|0 2 0|
|0 0 2|になってくれません。
どこで間違いをおしているのでしょうか?
教えて下さい。

行列A=
| 1 2 2 |
| 0 2 1 |
|-1 2 2 |
とします。
固有値、固有ベクトルを求め、
正則行列Pを用いて対角化する時の手順ですが、
何度やっても最終的に対角化できません。
おそらく固有ベクトル・正則行列の求め方に問題があるのだと思うのですが、
問題点を指摘して頂けないでしょうか?
解答が手元に無く、皆さんに助けを求めさせて頂きました。

【固有値】
|A-λE|=0として
(λ-1)(λ-2)^2=0
固有値λ=1, 2(重解)

【固有ベクトル】
(A-λE)X=0より

(i)λ=1の時
|0 2 2||X1|
|0 1 1||X2|=...続きを読む

Aベストアンサー

固有値2に対する一次独立な
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こういう場合は対角化できないのです。

Q一次元、二次元、三次元、四次元の意味

ネット用語で
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どれが現実なのでしょうか?
よく「恋人は二次元の人」という言葉を聞きますが
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2次元とは いわゆるアニメのような絵に描いたもの 多分3Dの物も含まれる。
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だと思います。恋人は2次元って言う人はいわゆるアニメオタクの更に先を行く人だと思います。アタマの中身が四次元空間になってしまって生身の人間は怖くて話しも出来ない位に引きこもった人ではないかと思います。
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Q大阪市地下鉄・阪急乗り換え なかもず~上新庄

今度、大阪市営地下鉄御堂筋線 なかもず駅~上新庄駅まで通勤するのですが、連絡定期券や迂回定期券を利用して便利な賢い定期券の買い方教えてください。

なかもず~動物園前で乗り換えて(堺筋線)~上新庄へ行く方法と、
なかもず~梅田(御堂筋線・阪急)~上新庄 の2通りを考えています。
通勤だけ考えれば、動物園前で乗り換えて上新庄に行くことになるのですが、なんば、梅田、心斎橋等で用事で途中下車したいときがあります。
どなたか詳しい方がいらっしゃったら教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#2です。

>降車時に阪急の改札を通らず、乗車時に地下鉄の改札を通らないから、なかもずで改札に引っかかり精算が必要になりますか?

試したことないからパス。
そもそも、ここの掲示板での模範解答は、
「定期券は経由を指定されているので、そういった利用法は不正乗車となり、定期券没収と3倍の増運賃を請求されることがある。定期券の場合は、日数をさかのぼって請求されるから膨大な額になる」
となります。

ただし、大阪市営地下鉄に関しては、迂回定期を作成した場合でも、途中下車しなければ最短ルートで乗車できる規定があります。

>通常の通勤は帰り 上新庄→動物園前→なかもず にしようと思っていました。
結論だけ書きますが、阪急区間にて、天六経由と梅田経由を1枚で双方満たす定期券を作るのは不可能です。
>なかもずで改札に引っかかり精算が必要になりますか?
分かりません。ただ、もし発覚したら、精算ではなく、不正乗車として、定期券没収と、定期券の使用日数×所定の運賃×3倍の増運賃を請求される可能性があります。

あと、迂回定期をするなら、乗り換えは2回までという規定がありますので、動物園前から堺筋線に乗った時点で、再度御堂筋線に復帰するのは、乗り換えが必ず2回越えますから不可です。

>梅田下車は無理でも、たまには難波で途中下車したかったので
以上を踏まえると、
なかもず→御堂筋線で梅田・東梅田→谷町線で天六→阪急で上新庄
とすると、梅田から阪急には乗れませんが、天六経由で通勤する分には、御堂筋線各駅で下車可能、で、動物園前で乗り換えても問題ない・・・なはず。
梅田・東梅田は、同一駅扱いのはずだから、問題ないはずですが、一応、購入時にご確認ください。

もしこれがダメなら、この迂回定期で。
なかもず→動物園前→南森町→谷町線で天六→上新庄
これで、難波は、日本橋から歩けばいいでしょう。メタボな私でも余裕で歩ける距離です。

#2です。

>降車時に阪急の改札を通らず、乗車時に地下鉄の改札を通らないから、なかもずで改札に引っかかり精算が必要になりますか?

試したことないからパス。
そもそも、ここの掲示板での模範解答は、
「定期券は経由を指定されているので、そういった利用法は不正乗車となり、定期券没収と3倍の増運賃を請求されることがある。定期券の場合は、日数をさかのぼって請求されるから膨大な額になる」
となります。

ただし、大阪市営地下鉄に関しては、迂回定期を作成した場合でも、途中下車しなけ...続きを読む

Q#include "_cv.h"の設定を教えて

VisualStudioC++2010を用いて、#include "_cv.h"を使用したいのですが、ファイルが存在する場所
「C:\Program Files\OpenCV\cv\src」を追加のインクルードファイルに入れても以下のエラーがでます。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C2146: 構文エラー : ';' が、識別子 'icvDepthToDataType' の前に必要です。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C2433: 'CvDataType' : 'inline' はデータ宣言をするのに使用できません。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C4430: 型指定子がありません - int と仮定しました。メモ: C++ は int を既定値としてサポートしていません
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C4430: 型指定子がありません - int と仮定しました。メモ: C++ は int を既定値としてサポートしていません
・・・・・

どなたか#include "_cv.h"の設定の仕方を教えてくれないでしょうか?

VisualStudioC++2010を用いて、#include "_cv.h"を使用したいのですが、ファイルが存在する場所
「C:\Program Files\OpenCV\cv\src」を追加のインクルードファイルに入れても以下のエラーがでます。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C2146: 構文エラー : ';' が、識別子 'icvDepthToDataType' の前に必要です。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C2433: 'CvDataType' : 'inline' はデータ宣言をするのに使用できません。
1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error...続きを読む

Aベストアンサー

何をコンパイルしようとしているのですか?

srcの下にあるのファイルだったら、OpenCVをソースからビルドするときに使うファイルだと思われます。

(コンパイル済みのライブラリを使うだけの)一般の利用者が直接_cv.hを使う必要は無いはずです。
あなたの作ったプログラムに#include "_cv.h"とあるなら、それが間違いです。


OpenCV自体のビルドなら、サイト等にビルドのしかたが書いてあります。
includeパスなども自動で設定されるし、オプション等も正しく設定されるので、よほどのことが無いかぎりエラーにはなりません。
失敗するのは、やるべき過程をやっていないのが原因と思われます。



> 1>C:\Program Files\OpenCV\cv\src\_cv.h(84): error C2146: 構文エラー : ';' が、識別子 'icvDepthToDataType' の前に必要です

このような感じでエラーが出ている、ということは、ファイルは見つかっている、ということで。そうでなければ「ファイルが見つからない」旨のエラーになりますから。

何をコンパイルしようとしているのですか?

srcの下にあるのファイルだったら、OpenCVをソースからビルドするときに使うファイルだと思われます。

(コンパイル済みのライブラリを使うだけの)一般の利用者が直接_cv.hを使う必要は無いはずです。
あなたの作ったプログラムに#include "_cv.h"とあるなら、それが間違いです。


OpenCV自体のビルドなら、サイト等にビルドのしかたが書いてあります。
includeパスなども自動で設定されるし、オプション等も正しく設定されるので、よほどのことが無いかぎりエラーには...続きを読む

Q写像に関する問題で単射、全射、全単射を選ぶ問題についての質問です

大学の問題で、

関数f,g:N→Nを以下のように定義する。

f(n) = 3n, g(n) = [n/3]+1     ※[ ]は床関数を表す

fとgの合成gfが満たす性質を選べ。
(A)単射でも全射でもない(B)単射だが全射ではない
(C)全射だが単射ではない(D)全単射である

という問題なのですが、gfが1となる元が存在しないので(B)の単射だが全射ではないと思うのですが、回答を見たら(D)の全単射でした。なぜ全射になるのか分らないのですが、教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その通り。
gf は、全射ではないです。
考えられるのは、定義域が自然数でなくて、
実は、整数だった… というオチぐらいかなぁ。
合成 fg の見間違いだとしても、
(A) にしかならないし。

Q不二子の怪現象?

不二子詳しい方、又、自分と同じような事を体験された方いたらお願いします。

先日某スロット店で不二子を打ってました。1000円でスーパービッグをひき
これはラッキーだなと喜んでいました(ちなみに1800ゲームくらいハマっていた台です)で、不二子ちゃんタイムは普通に終了したんですが、その後200ゲームくらいの間にただの運の悪さとは思えないような現象が起きました。

まず、子役の予告で、プラム&リプレイでどちらも揃わずでビッグ、レギュラー共に入らず。バイクステージで五右衛門が飛行機に乗ってる予告で順押しで(一応ベルを何気に狙って)何も子役揃わずでスーパーリーチみたいのにも発展せずが3回(もちろん約200ゲーム中です) 次に海のステージで次元か五右衛門予告で木箱から宝出現、で、子役揃わずでビッグもレギュラーも入らずを2回(ちなみに次元か五右衛門予告が出たので順押しで適当打ちです) で、バイクステージでプラムの子役予告でプラム揃わずでビッグ、レギュラー揃わず、ちなみにこれは200ゲーム中一回だけ。とりあえず、木箱宝出現で子役揃わなかったにもかかわらず、ビッグもレギュラーも揃わずだったときに店員に聞いたが、う~~ん、不思議ですねと言うだけでした。一応不二子は過去何回も打ってるのでUFOに乗ったルパンが出現し、チェリーが揃ってしまった、バイクステージで不二子もバイクも消えたにもかかわらず、ハズレというのが2回連続こようが冷静です(笑)
詳しい方がいたら教えてください。ただ単に運が悪かっただけなのでしょうか?
自分にはどうしても200ゲーム内に立て続けに起こったこの現象を運がないだけとは思えないんです。ちなみに怖くなりやめ、逃げるように店を出ました。

不二子詳しい方、又、自分と同じような事を体験された方いたらお願いします。

先日某スロット店で不二子を打ってました。1000円でスーパービッグをひき
これはラッキーだなと喜んでいました(ちなみに1800ゲームくらいハマっていた台です)で、不二子ちゃんタイムは普通に終了したんですが、その後200ゲームくらいの間にただの運の悪さとは思えないような現象が起きました。

まず、子役の予告で、プラム&リプレイでどちらも揃わずでビッグ、レギュラー共に入らず。バイクステージで五右衛門が...続きを読む

Aベストアンサー

解るところから答えます。
バイクステージでの五右衛門はベルを狙ったと言うことですがおそらく取りこぼし扱いと思います。取りこぼし以外は必ず発展します。
海での木箱からの宝出現ですがこれも取りこぼしとしか思えません。
不二子が消えても100%ボーナスではありません。第3リール停止時に裸か下着姿の不二子がでたら80%です。
ほかのものについてはどう考えてもボーナスに入っています。
早い話が、故障でしょうか?

Q物理の基本単位とともに教わる「次元」の意味について分かりやすく教えてください。

物理の基本単位とともに教わる「次元」の意味について分かりやすく教えてください。

Aベストアンサー

「次元」とは、物理量の種類の事です(^^)
1時間と1mは明らかに種類の違う量ですよね(-_-)
でも、身長、図形の一辺の長さ、本の厚さ・・・などなどは全て「長さ」に分類されますね(´∀`)
ですから、これらは長さの次元を持っているんです・・・物理量の種類が「長さ」だという事ですね(´ω`*)
このように、科学に出てくる数字は意味で分類できるんですね(◎◎!)
「長さ」の意味を持つ数字、
「質量」の意味を持つ数字
「時間」の意味を持つ数字
・・・などなど・・・です。
数学では一般に数そのものを扱うので、あまり問題にならないのですが、物理で出てくる数字は(数そのもの)+(数の意味)として扱わないと意味をなさないんです(^^;)
この(数の意味)にあたるものが「次元」ですねΣ(・ω´・ノ)ノ 
そうすると、基本的な”数の意味”として、時間、長さ、質量・・・などなどが現れてきます(・∀・)
これを、時間は[T]、長さは[L]、質量は[M]・・・などで表しておこうと言う事です(・ー・)
こうすることで、物理量の意味を単位系に関係なく調べる事ができます(^^)
現在では、単位系としてSIを使いましょうとなっているので、
[T]→[s]、[L]→[m]、[M]→[Kg] と単位を指定されているだけで、絶対的な事ではありません( ̄、 ̄)
[L]としては、[m]の他に[mm]とか[Å](オングストローム)とか[inch](インチ)・・・とかいろいろあるんですね(・ ・)
で、速さの次元は[LT^(-1)]となるのですが、SIを使うと[m/s]となり、[L]に[inch]、[T]に[h](時)を使うと[inch/h]になるだけなんですね(^^)

つまり、単位系に関係なく、物理量の”種類”だけで、数値の意味を表そうってのが「次元」なんです(^^*)

参考になれば幸いです(^^v)

「次元」とは、物理量の種類の事です(^^)
1時間と1mは明らかに種類の違う量ですよね(-_-)
でも、身長、図形の一辺の長さ、本の厚さ・・・などなどは全て「長さ」に分類されますね(´∀`)
ですから、これらは長さの次元を持っているんです・・・物理量の種類が「長さ」だという事ですね(´ω`*)
このように、科学に出てくる数字は意味で分類できるんですね(◎◎!)
「長さ」の意味を持つ数字、
「質量」の意味を持つ数字
「時間」の意味を持つ数字
・・・などなど・・・です。
数学では一般に数そのものを扱うの...続きを読む

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