放物線y=x^2と直線y=2x+3のグラフがあり、2点A,Bで交わっている。
△PAB=18となるようにy軸上に点P(0,b)ただしb>0をとる。
A(-1,1)
B(3,9)
です。
(1)
bの値を求める

直線y=2x+3とy軸の交点をRとすると
△PAB=△PRA+△PRB
はわかるのですが、このあとがわかりません。
(2)
△OABの面積を求める。

△OAB=△ORA+△ORB
まではわかるのですが、このあとが
おねがいします

A 回答 (6件)

boku115さん、こんにちは。

#4fushigichanです。

>(1)で場合わけをするとき、どうして3に注目するのですか?

#5で、naomi2002さんが詳しく説明してくださっていますが、
△ABPを考えるとき、△PRA+△PRBと、二つに分けて考えましたよね。
△PRA,△PRBの底辺を、どちらもPRだと考えて計算していきます。

このPRですが、点P(0,b)が、点R(0,3)よりも
上側か、下側かによって、「どちらのy座標が大きいか」変わってきますね。
底辺の長さ=y座標の差
ですから、y座標が大きいほうから、小さいほうを引いた値です。

(0,b)と(0,3)のy座標bと3では、どちらが大きいか?
ということから、3<bのときと、b≦3のときと場合わけします。
(b≦3のときですが、最初の条件より、b>0となっているので
0<b≦3です)
#4の1)で0≦b≦3のとき、としましたが、0は含まなくていいですね。
0<b≦3のとき、としてください。訂正させていただきます。

簡単に言うと、点Pがy軸上を動くときに、
原点と点R(0,3)との間のとき、と
点R(0,3)よりも上側に来る時、とで分けているのですね。

場合わけというと、構えてしまいがちですが
「なんで3で場合分けるのか?」ではなくて
点Pを動かしてみたときに、たまたま点Rとのy座標を比べっこするので、
y座標が3よりも大きいかどうか、が問題になるんですね。

ご参考になればうれしいです。
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No.2です。



>(1)で場合わけをするとき、どうして3に注目するのですか?

ということについてですが、

点A, Bが直線y=2x+3上でy軸の両側にありますね。
そしてもう1点P(0, b)がy軸上にあって、この3点で三角形ができます。(A, Bは定点、Pは動点。)
もしb>3なら、△PABは直線y=2x+3の上側に、b<3なら下側にできます。b=3なら、PはRと一致してしまいます。つまりPは直線AB上に乗ってしまうので、三角形にならず、一直線になってしまいます。
△PABをふたつの三角形、△PRAと△PRBに分けて、PRを共通の底辺と考えるのですが、P, Rはいずれもy軸上にあるので、y座標の差がPRの長さになります。
そのPRの長さを求める時、PがRより上にあるか下にあるかによって、b-3になったり3-bになったりします。

△PAB=18になるような点は、第三の点Pを線分ABの上側にとるか、下側にとるかで、2点あるはずです。
(グラフで点Pをy軸上を上下に移動させて、考えてみて下さい。)

しかし、PがRより下にある場合のbの値を計算するとb<0になってしまい、与えられた条件b>0に合わなくなってしまうので、これは除外します。
よって、Pの位置は1点のみ(Rの上側のみ)となります。

なお、No.2の私の回答で

「これを、b>=3(RがPより上)の場合と、b<3(RがPより下)の場合に分けて、絶対値記号をはずす。」

と書きましたが、PとRが逆になっていました。大変失礼いたしました。訂正いたします。

上手に説明できなくて、ごめんなさい。
誰かもっと上手な人が説明してくれないかな~(笑)
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boku115さん、こんにちは。


グラフの問題なので、まずグラフを描いてみてくださいね。
グラフを描くと、場合わけの意味が分かると思います。

A(-1,1),B(3,9),R(0,3),O(0,0)が分かっています。
         ↑
点Rは、y軸とy=2x+3の交点つまり、y切片です。

(1)
さて、点P(0,b)ですが、
1)0≦b≦3のとき、
点Pは、線分ORのどこかになります。0≦b≦3
このとき、bよりも3の方が大きいですから、|PR|=(3-b)

△PRA+△PRB=(底辺PR*高さ1)/2+(底辺PR*高さ3)/2
=(3-b)/2+(3-b)*3/2=6-2b

6-2b=18とすると、2b=-12,b=-6
となって、0≦b≦3にあてはまらないので不適。

2)3<bのとき、
点Pは、線分ORのRを越えた延長上
つまり、y座標が3より大きいところにあるので、
|PR|=(b-3)←bの方が3より大きいので

△PRA+△PRB=(底辺PR*高さ1)/2+(底辺PR*高さ3)/2
=(b-3)/2+(b-3)*3/2=2b-6

2b-6=18とすると、2b=24,b=12
これは、3<bを満たすのでOK.

ゆえに、b=12と求まりました。
場合わけは、点Pが、OとRの間のときと、Rよりも上になるときに分けます。

(2)
こっちは、もっと簡単ですね。
△OAB=△ORA+△ORB
=(底辺OR*高さ1)/2+(底辺OR*高さ3)/2
=1*3/2+3*3/2=6

となります。頑張ってください。

この回答への補足

(1)で場合わけをするとき、どうして3に注目するのですか?

補足日時:2003/07/12 13:25
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No.1のymmasayanです。



すみません。(1)でP点がR点よりも下にあるケースの説明を抜かしていました。
これは実際には存在しません。(b<0になります)
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PRを△PRAと△PRBの共通の底辺と考える。


二つの三角形の高さは、Aとy軸、Bとy軸との距離に等しい。
△PRA=(1/2)*|b-3|*|0-(-1)|
△PRB=(1/2)*|b-3|*|3-0|

これを、b>=3(RがPより上)の場合と、b<3(RがPより下)の場合に分けて、絶対値記号をはずす。

あとはやってみて下さい!
がんばってね☆

この回答への補足

(1)で場合わけをするとき、どうして3に注目するのですか?

補足日時:2003/07/12 13:26
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ヒントだけ。



(1)
△PAR:PRを底辺としてA点のX軸(絶対値)を高さとする。
△PBR:PRを底辺としてB点のX軸を高さとする。

Rは(0,3)ですからPのY軸を未知数として、△PAR+△PBR=18
で方程式を立てて解くとP(0,12)となります。

(2)これも(1)と同じ考え方をすればすぐ解けます。
   答えは6です。
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