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実定積分の求め方が解りません!!
問:a>|b|>0を満たす実定数a,bに対して、∫1/a+bcos(θ)dθ  を求めよ。(積分範囲は0~2π)
この問題が解けません。z=exp(iθ)としてやってみたのですが、うまくいきません。コーシーの積分公式を使うらしいのですが…。どなたか教えていただけませんか?!

A 回答 (4件)

たぶん,どこで小さな間違いがあったでしょう。


添付画像をご参考になさってください
「実定積分の求め方が解りません!!」の回答画像1
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初等的にやろう。

ほとんど高校範囲
(ちょっとハミ出すけど)で計算できる。

三角関数を含んだ分数式の積分の定石どおり
u = -1/tan(θ/2) と置いたあと、
変形して出てきた式を睨んで
w = u・√((a+b)/(a-b)) と置きなおせば、

∫[θ=0→2π] dθ/(a + b cosθ)
= ∫[u=-∞→+∞] 2du/((a+b)u↑2 + (a-b))
= (2/√(a↑2 + b↑2)) ∫[w=-∞→+∞] dw/(1 + w↑2)
と変形できる。

最右辺の積分の値は、
w = Arctanφ で置換すれば、
(π/2) - (-π/2) と解る。
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すみません,さっき画像を添付したはずだったのですが…

「実定積分の求め方が解りません!!」の回答画像3
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Cauchyの積分公式を使わなければならないでしょうか。


結果は同じと思います。なにかあれば補足なさってくださいね。
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