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広義積分が解けません。

∫dx x^3/(exp^x -1) = π/15

なお、積分範囲は0~∞です。

これは『基礎量子力学』猪木慶治、川合光、講談社サイエンティフィクの
p.13[6]の解(1)で公式として扱われています。
具体的な導出方法がわかりません。

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A 回答 (3件)

その公式の導き方ですが…



ガンマ関数の定義 Γ(s) = ∫[t=0→+∞] { t^(s-1) }・e^(-t) dt
を t = nx で置換すれば、
Γ(s)・n^(-s) = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・e^(-nx) dx と変形できます。
この式の両辺を n=1,2,3,…,→∞ について Σ すれば、
左辺 = Γ(s)・Σ[n=1→∞] n^(-s) = Γ(s)・ζ(s),
右辺 = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ Σ[n=1→∞] e^(-nx) } dx
   = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ e^(-x)/(1 - e^(-x)) } dx  ; 等比級数の公式
   = ∫[x=0→+∞] { x^(s-1) }・{ 1/(e^x - 1) } dx      ; 分子分母 e^x 倍
と整理されます。 いわゆる「リーマンの第一積分表示」です。

自然数に対するガンマ関数の値は、Γ(n) = (n-1)!,
偶数に対するゼータ関数の値は、ζ(2n) = { (-1)^(n+1) }・B[2n]・{ (2π)^(2n) }/{ 2・(2n)!}
という有名な公式がありますから、

以上を使って、s = 4 の場合を整理すると、
∫[x=0→+∞] (x^3)/(e^x - 1) dx
= (3!)・{ (-1)・B[4]・(2π)^4 }/{ 2・(4!) }  ; ベルヌイ数 B[4] = -1/30
= 6・(π^4)/90
となります。

偶数ゼータ値の公式は、sin の級数表現と無限積表現
sin z = Σ[n=0→∞] { (-1)^n }・{ x^(2n+1) }/{ (2n+1)!},
sin z = z・Π[n=1→∞] { 1 - (x^2)/(nπ)^2 }
の各 z^n の係数を比較すれば、導けます。
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この回答へのお礼

とてもきれいに導出してくださり、わかりやすかったです。
ありがとうございました。

ゼータ関数というのを、初めて知りました。
これを機会に勉強しようと思います。

お礼日時:2010/06/27 18:05

∫[0,∞]{x^3/(e^x -1)}dx = π^4/15 (π/15ではない!!)



ちょっとずるいけど・・・
以下の積分公式から計算してみる
∫[0,∞]{t^(2n-1)/(e^(2πt) -1)}dt=Bn/4n (Bnはベルヌーイ数)
2πt=xとおくと
与式=1/(2π)^(2n-1)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx/2π
=1/(2π)^(2n)・∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=Bn/4n
∴∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^(2n)・Bn/4n
n=2を代入して
∫[0,∞]{x^(2n-1)/(e^x -1)}dx=(2π)^4・B2/4・2=16π^4/(30・4・2)=π^4/15
(ベルヌーイ数;B2=1/30を使用)
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この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
一番最初に用いられている公式をどう導出できるのかが疑問です。

お礼日時:2010/06/27 18:06

リーマン・ゼータ関数の積分表示について


調べてみて下さい。
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この回答へのお礼

ご回答いただき、ありがとうございます。

リーマン・ゼータ関数の積分表示について調べてみると、
結構載っているものですね。
キーワードだけでも知っていると役に立ちますね。

お礼日時:2010/06/27 18:09

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