マンガでよめる痔のこと・薬のこと

解法が思いつきません。よろしくお願いします。

X,Yに対しXからYへの全単射を与えよ。

(1) X=(-1,1)×(-1,1) Y={(x,y)|x^2+y^2<1}

(2) X={(x,y)|x^2+y^2<1} Y={(x,y)|x^2+y^2≦1}

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1) は、連続写像でできますね。

単純に、偏角はそのままにしてrだけを変えればよいと思います。
具体的には、
X上では、(rcosθ,rsinθ)と書いたとき、0 ≦ r < 1/max(|cosθ|,|sinθ|) ですから、
これをY上の0≦r<1になるように写せばよいと思います。

(2)は連続写像では不可能です。(連続写像では開集合の逆像は開集合なので、全単射にはできません)
というわけで、連続写像ではない関数を考えないといけません。
具体的には、
X上のr=1/2 ⇔ Y上のr=1
X上のr=1/n (n>2以上の整数) ⇔ Y上のr=1/(n-1)
それ以外なら、X=Y
とか。
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代数学まで行ってあるようですから、外積はダイジョウブでしょう。


 #必要だったらいってください。調べてみてもあると思うよ。

解答書いてもしょうがないから。

恒等式の考え方でいけると思うよ。

(2)はしんどいかもしれないけど、x,yを局座標表記に変えて、

r,θ かなにかに変えて、やったほうが早いかな? 一緒かな?

全単射だと示せばいいんだから、恒等式みたいに見た方が少し楽かも。

ぱっと見、一目だから、こね回すと、難しくなるよ。

代数学屋より m(_ _)m
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