集合Xの部分集合の族A(ただし、空集合∈A)が∪A=Xをみたすものとする。
 C(A):={S1∩S2・・∩Sn}|Si∈A、i∈N}
 T(A):={∪λ∈Ω Bλ|Bλ∈C(A)、Ωは任意 }
とおく。このとき、次のことを証明せよ。

(1) T(A)は位相になることを示せ。
(2) T(A)は Aを含む位相のうちで最も弱い位相であること  を示せ。

ずっと考えたのですが、わかりません。教えてください。
お願いします。

A 回答 (2件)

piropiro1さん、こんにちは。


先程ケーニヒスブルグの橋の問題に回答させていただきました。
位相の問題があるなあ・・と思ってみていたのですが
大学で幾何学を学ばれているみたいですね。

まず、位相の定義から考えれば、
T(A)が位相構造をなすとは、
(1)X∈T(A),φ∈T(A)
XはT(A)の要素、空集合もT(A)に含まれる

(2)T(A)の元からなる集合族(Oλ)λ∈Λ(添数集合)
だとするとき、
∪Oλ∈T(A)←Oλの和集合は、T(A)に属する
λ∈Λ

(3)Λが有限集合ならば、(Oλ)λ∈Λの積集合もT(A)に属する
∩Oλ∈T(A)
λ∈Λ

をいえれば、T(A)が位相であることがいえると思います。
(1)
C(A):={S1∩S2・・∩Sn}|Si∈A、i∈N}
より、φ∈Aより、S1=S2=・・=Sn=φ
とおくと、φ∈C(A)→φ∈T(A)
T(A):={∪λ∈Ω Bλ|Bλ∈C(A)、Ωは任意 }
より、
T(A)の要素は、C(A)の要素の和集合になっている。
今、すべてのAの要素Bは、
S1=B,S2=S3=・・=SN=Aとすると、B∈C(A)なので
A⊆C(A)
∪A=X⊆∪C(A)=C(A)なのでX⊆C(A)
ゆえにX⊆T(A)

(2)
T(A)={∪Bλ|Bλ∈C(A)}
   λ∈Ω
の形で表されているので、Oλ=∪Bλと考えると
Oλ=∪Bλ
  λ∈Ω
∪Oλ=∪(∪Bλ)∈T(A)
λ∈Λ λ∈Λλ∈Ω

(3)
今、T(A)の任意の二つの要素をとってくると、
Oi,Oj∈T(A)、i,j∈Ωとすると、
Oi=∪Bi=∪{S1∩S2∩・・∩Si}
Oj=∪Bj=∪{S1∩S2∩・・∩Sj}
とおける。
Oi∩Ojを考えると、
Oi∩Oj=∪{S1∩S2∩・・∩Si}∩∪{S1∩S2∩・・∩Sj}
=∪{S1∩S2∩・・∩Si}∩{S1∩S2∩・・∩Sj}
=∪{S1∩S2∩・・∩S[Max(i,j)]}∈T(A)←この書き方ちょっと疑問

なので、T(A)は位相を定める。
となるのではないでしょうか。ちょっと自信ありません。
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∪λ∈Ω Bλという式はλの和集合を取るのではなく,Bλの和集合をとるということなのですね。


(1)の方だけ回答致します。位相の定義より,
1. φ∈T(A), X∈T(A)
2. D1,…DkをT(A)に含まれる有限個の集合としたとき,∩Di∈T(A)
3. Dμ(μ∈Ω')をT(A)に含まれる任意個の集合としたとき,∪Dμ∈T(A)
を示します。

1. φ∈Aよりφ∈C(A)。よってφ∈T(A)。
 Aに含まれる任意の集合はC(A)に含まれる。T(A)はC(A)に含まれる集合の和で表わされる集合を全て含み,∪A=XだからX∈T(A)
2. D1,D2∈T(A)とする。
 D1∩D2 = (∪Bλ)∩(∪Bλ')
    = (∪(∩Si))∩(∪(Sj))
    = ∪(∩Si∩Sj)∈T(A)
3. Dμ(μ∈Ω')をT(A)に含まれる任意個の集合としたとき,
 ∪μ∈Ω'Dμ = ∪μ∈Ω'(∪λ∈ΩμBλ)
    = ∪Bν∈T(A) (∪はν∈∪μ∈Ω'Ωμについての和)
(2)については参考書などを見て考えて下さい。
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