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留数定理を使った解き方を教えてください。
ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。
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原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。
I=∫(-∞→∞){(sin t)exp(ipt)/t}dt
この積分を求めなさい。
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答は、以下のとおりです。
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|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π。
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答に示されている積分経路は以下のとおりです。(本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。)
また、ε→0、R→∞の極限を取ると思われます。
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C1:ε→R(ε及びRは正の実数。実軸上を移動)
C2:R→-R(θ=0→πの反時計回り)
C3:-R→-ε(実軸上を移動)
C4:-ε→ε(θ=π→0の時計回り)
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これ以上の解説はありません。
その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。
f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
とおくと、
sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i
より
f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz
となり、
z=r(cosθ-isinθ)とおくと、
exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ}
となります。
C4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、C2の経路はどうすればよいのか分かりません。

よろしくお願いいたします。

A 回答 (5件)

MEOWSTERさんへ:


C4にそった線積分が0にならないと思います。
むしろC2の方が,たぶん,Jordanの補題より→ 0 (as R → ∞) と思います。
ご参考までに,Jordanの補題を引用いたします。
C4の経路の計算については,∫[―∞,∞]{sin x / x}dx =π の計算がご参考になれると思います。

浅学非才でお役に立てなくてすみません。宜しければ,alice_44先生,Ae610先生,rabbit_cat先生,Info22先生のご教授をお待ちしたいと存じます。

ちなみに,もしそういう「厳密」な方法にこだわらなくて良いなら,1 / x のフーリエ変換に関連するある公式からも,同じ解になります。
ご参考までに,次の回答で添付いたします。
「留数定理を使った解き方を教えてください。」の回答画像1

この回答への補足

質問者のMEOWSTERです。

ジョルダンの補題を使って、解くことができました。

f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
に丸ごと、留数定理とジョルダンの補題を使おうとしたのが間違いでした。

f(z)={exp(i(p+1)z)-exp(i(p-1)z)}/(2iz)
と変形できます。

ここで、留数定理とジョルダンの補題により
a>0として
∫(-∞→∞){exp(iat)/t}dt=πi (質問欄に記載のとおり実軸より上の経路で積分)
∫(-∞→∞){exp(-iat)/t}dt=-πi (実軸より下の経路で積分)
となるため、
f(z)を以下の2式に分けることにより、
f1(z)={exp(i(p+1)z)}/(2iz)
f2(z)={exp(i(p-1)z)}/(2iz)
以下の答えを導くことができました。
|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π

大変ありがとうございました。

補足日時:2010/07/10 11:49
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この回答へのお礼

gotouikusaさん

ジョルダンの補題を教えて頂きありがとうございます。
ただ、質問の欄で定義したf(z)だとジョルダンの補題は使えないと思います。
と言いますのは、z(=x+yi)が複素数のとき
sin z= sin x cosh y + i cos x sinh y
={sin x (e^y+e^-y)+ i cos x (e^y-e^-y)}/2
ですので、|z|→∞のときに(sin z)/zは0にならないと思います。
たとえば、x=0、y→∞では
(sin z)/z= i (e^y) /2y→∞
です。

最初のf(z)が間違っているのかもしれませんが、
今のところ、他の式も思いつきません。

また、フーリエ変換の解き方も読ませていただこうと思いますが、
本の内容は留数定理の練習問題なので、留数定理を使った解き方を待ちたいと思います。

お礼日時:2010/07/03 16:46

Gotouikusaです。


申し訳ございません。画像に誤りがありました。
(*)式のなかの exp[-itx] はexp[itx]の間違いでした。
訂正して,お詫び申し上げます。
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さっきの回答にある公式(*)のカンタンな証明です。


1/x を p.v. 1/x として定義します。
「留数定理を使った解き方を教えてください。」の回答画像4
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すみません,#2では画像を添付できませんでした。

「留数定理を使った解き方を教えてください。」の回答画像3
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1/x のフーリエ変換に関連する公式(*)よりも,解を得ることができました。


ご参考になさってください。
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Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。

Q複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[-∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
A:(1)で0を避けた理由
B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか
C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則?
D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような?

長くなりましたがよろしくお願いします

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分ける...続きを読む

Aベストアンサー

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれていました
あぁ、aは1位の極という条件があったのですね。
教科書に書いてあるのならそれでいいのでしょう。(私などの言うことよりは教科書に書いてある事を信じるべきです)

>>>D1とD3は実軸上なのでその経路上の積分においてF(z)=F(x)=exp(ix)/xと置き換えられる
>これは本当にいいんでしょうか。教科書などでもいきなりやってるのでなんとなくやってましたが
>∫[実軸と水平な直線N]F(z)dz = ∫[Nの左端のx座標→Nの右端の座標]F(x)dx について手持ちの教科書では説明が見当たりません

例えば、#2への補足のD2'上の積分の計算で、
z=εexp(iθ)
と"置換"をしています。
この"置換"によって積分変数が複素数から実数へと変わりますよね。従って"置換"の前後で積分自体の定義が若干変わるので、普通の実数値関数の積分の場合と同様に"置換"ができるという事自体は必ずしも自明ではないと思います。(複素積分の定義にもよるかもしれませんが)
ですので、こういう"置換"ができるという事はお手持ちの教科書のどこかに書いていませんか。
式としては参考URLのComplex line integralの節の3つ目の式です。

ま、証明はともあれこの式を認めてよいのであれば、
ご質問の件はz=xと"置換"をしただけです。参考URLの式で言えばγ(x)=xとしているだけです。

>また、今回のRやLのような虚軸方向の直線の積分はyの積分に置き換えていいんでしょうか
z=±X+iyと"置換"をする(γ(y)=±X+iyとして参考URLの式を当てはめる)
のような事をするだけです。

>R,L,U上の積分はあくまでもX→∞,ε→0の極限で0になることの証明は教科書にあるので読めばわかるだろうと高を括っていましたが甘かったようです。
ん、今まで気付きませんでしたが、R,L,U上の積分を考える上ではεは何処にも出てこないのでε→0の極限はとらなくてもいいですね。あと、Y→∞の極限をとる必要もあるでしょう。(この部分は最初に書き損じて後はコピペをしていたせいで全部間違えただけのような気もしますが、せっかく気付いたので念のため)

という事はさておき、この証明はそんなに難しいのですかね。
いや、簡単だとか言っているのではなく、こういう経路で実際に計算した経験(記憶?)がない(&実際に計算をしていない)ので、どこで計算に詰まるのか分らないだけなのですが。

>今回の経路のR,L,Uの代わりに半径Xの半円Pとしてやった経路(P+D1+D2+D3)を考えると1/zはz→∞のとき0に収束するのでジョルダンの補助定理が適用できて∫[P]F(z)dz = 0
まぁ、いいのではないでしょうか。
正確にはz→∞ではなく|z|→∞かな。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれてい...続きを読む

Qブロムウィッチ積分による逆ラプラス変換

F(s)=1/(√s+c)

の逆ラプラス変換をブロムウィッチ積分

f(t)=L^(-1)F(s)={1/(2πi)}∫[c-ip→c+ip]F(s)e^(st)ds (t>0)

を用いて解く問題が分かりません。分岐点がどこかから躓いてます。

√s=-cなので、√s=√x(cosθ+i・sinθ)よりθ=-π,x=c^2とすればよいでしょうか。

その場合、積分路の取り方と、計算方法をご教示頂けると助かります。

Aベストアンサー

直接の回答にはならないが、1/((√s)+c)のラプラス逆変換invL{1/((√s)+c)}がどんな原関数になるのか興味があったので簡易的に計算してみた・・!
今、1/((√s)+c)を変形してみるとs' = s/c^2としてs'の式に置き換える

1/((√s)+c)= (1/c)・{-1/(s'-1)+1/(√s')+1/(√s'・(s'-1))}
= (1/c)・{-c^2/(s-c^2)+c/√s+c^3/√s・(s-c^2)} (s'を元のsに戻す)
= -c/(s-c^2)+1/√s+c^2/(√s・(s-c^2))

∴invL{1/((√s)+c)} = c・invL{-1/(s-c^2)}+invL{1/√s}+c^2・invL{1/(√s・(s-c^2))}
= -c・exp(c^2・t)+1/√(πt)+c^2・(1/c)・exp(c^2t)・erf(c√t)
= 1/√(πt)-c・exp(c^2・t){1-erf(c√t)}
= 1/√(πt)-c・exp(c^2・t)・erfc(c√t)

--------------------------
ここでお詫び
以前、
(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx=erf(a/√(4t))  (qNo.8816249:指数三角関数を含む定積分)
についての回答を付けたのだが、導出過程に誤りがあったのでここに訂正させていただく
(記載誤りと計算ミスがあり、訂正を入れようとしたのだが〆切られてしまったので訂正が出来なかった)
1.計算途上で利用した微分方程式の記述(正しくはdJ/J = -(a/2t)da )
2.∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dyの計算
∫[0→∞]{exp(-ty^2)・sin(ay)/y}dy = (π/2)・erf(a/√(4t))
↑の式から(1/π)・∫[0→∞]{exp(-xt)・sin(a√x)/x}dx=erf(a/√(4t))が言える!!
以上2点訂正(申し訳ない!)
-------------------------

直接の回答にはならないが、1/((√s)+c)のラプラス逆変換invL{1/((√s)+c)}がどんな原関数になるのか興味があったので簡易的に計算してみた・・!
今、1/((√s)+c)を変形してみるとs' = s/c^2としてs'の式に置き換える

1/((√s)+c)= (1/c)・{-1/(s'-1)+1/(√s')+1/(√s'・(s'-1))}
= (1/c)・{-c^2/(s-c^2)+c/√s+c^3/√s・(s-c^2)} (s'を元のsに戻す)
= -c/(s-c^2)+1/√s+c^2/(√s・(s-c^2))

∴invL{1/((√s)+c)} = c・invL{-1/(s-c^2)}+invL{1/√s}+c^2・invL{1/(√s・(s-c^2))}
= -c・exp(c^2・t)+1/√(πt)+c^2・(1/c)・exp(c^...続きを読む


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