留数定理を使った解き方を教えてください。
ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。
-----
原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。
I=∫(-∞→∞){(sin t)exp(ipt)/t}dt
この積分を求めなさい。
-----
答は、以下のとおりです。
-----
|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π。
-----
答に示されている積分経路は以下のとおりです。(本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。)
また、ε→0、R→∞の極限を取ると思われます。
-----
C1:ε→R(ε及びRは正の実数。実軸上を移動)
C2:R→-R(θ=0→πの反時計回り)
C3:-R→-ε(実軸上を移動)
C4:-ε→ε(θ=π→0の時計回り)
-----
これ以上の解説はありません。
その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。
f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
とおくと、
sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i
より
f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz
となり、
z=r(cosθ-isinθ)とおくと、
exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ}
となります。
C4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、C2の経路はどうすればよいのか分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
MEOWSTERさんへ:
C4にそった線積分が0にならないと思います。
むしろC2の方が,たぶん,Jordanの補題より→ 0 (as R → ∞) と思います。
ご参考までに,Jordanの補題を引用いたします。
C4の経路の計算については,∫[―∞,∞]{sin x / x}dx =π の計算がご参考になれると思います。
浅学非才でお役に立てなくてすみません。宜しければ,alice_44先生,Ae610先生,rabbit_cat先生,Info22先生のご教授をお待ちしたいと存じます。
ちなみに,もしそういう「厳密」な方法にこだわらなくて良いなら,1 / x のフーリエ変換に関連するある公式からも,同じ解になります。
ご参考までに,次の回答で添付いたします。
この回答への補足
質問者のMEOWSTERです。
ジョルダンの補題を使って、解くことができました。
f(z)=(sin z)exp(ipz)/z
に丸ごと、留数定理とジョルダンの補題を使おうとしたのが間違いでした。
f(z)={exp(i(p+1)z)-exp(i(p-1)z)}/(2iz)
と変形できます。
ここで、留数定理とジョルダンの補題により
a>0として
∫(-∞→∞){exp(iat)/t}dt=πi (質問欄に記載のとおり実軸より上の経路で積分)
∫(-∞→∞){exp(-iat)/t}dt=-πi (実軸より下の経路で積分)
となるため、
f(z)を以下の2式に分けることにより、
f1(z)={exp(i(p+1)z)}/(2iz)
f2(z)={exp(i(p-1)z)}/(2iz)
以下の答えを導くことができました。
|p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π
大変ありがとうございました。
gotouikusaさん
ジョルダンの補題を教えて頂きありがとうございます。
ただ、質問の欄で定義したf(z)だとジョルダンの補題は使えないと思います。
と言いますのは、z(=x+yi)が複素数のとき
sin z= sin x cosh y + i cos x sinh y
={sin x (e^y+e^-y)+ i cos x (e^y-e^-y)}/2
ですので、|z|→∞のときに(sin z)/zは0にならないと思います。
たとえば、x=0、y→∞では
(sin z)/z= i (e^y) /2y→∞
です。
最初のf(z)が間違っているのかもしれませんが、
今のところ、他の式も思いつきません。
また、フーリエ変換の解き方も読ませていただこうと思いますが、
本の内容は留数定理の練習問題なので、留数定理を使った解き方を待ちたいと思います。
No.5
- 回答日時:
Gotouikusaです。
申し訳ございません。画像に誤りがありました。
(*)式のなかの exp[-itx] はexp[itx]の間違いでした。
訂正して,お詫び申し上げます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 paythonを使用した周回積分に関する質問です。 2 2023/02/17 19:09
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 物理学 電磁気学の問題について教えて欲しいです. 1 2023/05/05 17:01
- 工学 制御工学の問題について 1 2022/11/01 23:45
- 工学 制御工学の問題について 1 2022/11/01 09:12
- 数学 数学の質問です。 関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)=∫[-∞→∞]f(t)exp(-iωt)dt 1 2023/07/29 01:08
- 数学 離散フーリエ逆変換が周波数分割数をNにできる理由について 4 2022/09/18 12:56
- 工学 【制御工学】単位ステップ応答の遅れ時間の求め方(令和2年度の機械設計技術者試験(制御工学)の問題) 3 2022/11/02 10:51
- 数学 指数関数の微分について 1 2022/05/01 11:11
- 数学 積分 大学数学・物理 1 2023/01/30 19:43
おすすめ情報
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
0の積分
-
積分の問題なのですが、途中か...
-
積分の問題でどの部分を置換す...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
積分の問題ですが、どこで間違...
-
高校の数学で積分できない関数
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
e^(ax)の微分と積分
-
exp(ikx)の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
楕円の円周をはかりたいのです...
おすすめ情報