r=3cos2θ(0<θ<2π) で囲まれる図形の面積の求め方を教えてください。

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A 回答 (4件)

#1,#2の回答は,「線分の長さを積分すれば面積になる」と誤解されています。


微小量Δθに対する微小面積をΔSとすると

ΔS≒(1/2)r^2Δθ

となりますから,dS/dθ=r とはなりません。正しくは

dS/dθ = lim_(Δθ→0)ΔS/Δθ = (1/2)r^2

です。(ちなみに,xy平面上において y=3cos 2x のグラフは,囲まれる部分を作りません。)
したがって,求める面積は

∫_0^2π (1/2)r^2 dθ = (9/2)∫_0^2π cos^2(2θ)dθ
= (9/4)∫_0^2π (1+cos 4θ)dθ
= (9/4) [ θ+(1/4)sin 4θ ]_0^2π
= 9π/2

になるかと思います。
なお,面積を表す定積分は,厳密には

lim_(a→+0,b→2π-0) ∫_a^b (1/2)r^2 dθ

と書くべきですが,高校では広義積分を扱わないので,上のように書いて(上のようにして解けるものに限定されると考えて)大丈夫でしょう。
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#3の者ですが,一部書き間違えました。



>(xy平面上において y=3cos 2x のグラフは,囲まれる部分を作りません。)

(・・・囲まれる部分は π/4≦x≦7π/4 の範囲であり,

∫_(π/4)^(3π/4) (-3cos 2θ)dθ +∫_(3π/4)^(5π/4) 3cos 2θ dθ +∫_(5π/4)^(7π/4) (-3cos 2θ)dθ

を求める問題ととれないことはないのですが,0<θ<2π としていることや r,θ で表していることから,極方程式と考えるのがふつうでしょう。)

とするのが正しいですね。すみませんでした。
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この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2003/07/13 10:04

#1です。


積分の式は∫(0→2π)3cos2θdθでした(ついにボケが始まった)。ですので、∫(0→2π)3cos2θdθで2θをtと置いて、置換積分すると、dt/dθ=2となって、dθ=dt/2となり、tの範囲も0→4πとなります。

後は頑張って下さい。
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普通に積分すると0になりますので2×∫(0→π)3cos2πdπを計算されてはどうでしょう?



ヒント:2πをtとおいて置換積分してみるとどうなりますか?
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