OCN光で最大124,800円おトク!

合成関数の微分法で質問です
(sinX)'=cosXという公式がありますよね

そこで
(sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、
公式的に、
(sinx)'=cosxならば
なぜ(sin2x)'=cos2x 
こうならないのでしょうか

A 回答 (5件)

こんにちは。



まず、
z=2x
と置けば、
y=sin(2x)=sinz
dz/dx = 2
dy/dz = cosz
よって、
(sin(2x))’= dy/dx = dy/dz・dz/dy
 = cosz・2
 = 2cos(2x)
です。

次に、直感的に考えましょう。
y’=(sin(2x))’ は y=sin(2x) のグラフの傾きを表す関数です。
そして、sin(2x)は、最大値(=1)と最小値(=-1)はそのままに、sinx の周期を半分にした関数です。
周期を半分にするということは、それだけ1とー1の間を忙しく行き来しなくてはいけないので、
傾き(の最大値)が2倍になってくれないと、周期を半分にするのに追いつきません。
ですから、導関数には2という係数がつかないと、sin(2x)という人は困るのです。

手元で落書きしてみるだけでわかりますよ。

ご参考になれば。
    • good
    • 3

No.3の回答者です。


誤字がありましたので、訂正させてください。

---------------------------
よって、
(sin(2x))’= dy/dx = dy/dz・dz/dy←【ここが間違い】
 = cosz・2
 = 2cos(2x)
です。
---------------------------

正しくは、
dy/dz・dz/dx
でした。
    • good
    • 0

ちゃんとした話は他の回答者の方々がしているので


別の視点で考えてみます。

> 公式的に、
> (sinx)'=cosxならば
> なぜ(sin2x)'=cos2x 
> こうならないのでしょうか

(sinx)'を「sinxを微分する」という事だと考えていませんか?
実はこれ、正確ではないんです。
(sinx)'は「sinxをxで微分する」という事を表します。
普段意識しないかもしれませんが、「何で微分するのか」という所が
実はとっても大事なんです。
(sin(2x))'は「sin(2x)をxで微分する」という事を表します。

(sinx)' = cosxという公式は、
「sinxを、sinの中身と同じ物(つまりx)で微分するとcosxになる」
という事を言っています。

ここで(sin(2x))'を考えます。
(sin(2x))'はsin(2x)をxで微分しています。
つまりsinの中身と違うもので微分しています。
だから公式が使えないんです。

sin(2x)はxで微分すると2cos(2x)になります。
が、sin(2x)を2x(つまりsinの中身と同じもの)で微分すれば、cos2xになります。
これは公式通りです。

他の例だと、sin(x^2 + 2x + 3)をxで微分すると(2x + 2)sin(x^2 + 2x + 3)ですが、
sin(x^2 + 2x + 3)をx^2 + 2x + 3で微分すればcos(x^2 + 2x + 3)となります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2010/06/27 11:08

>(sin2x)を微分すると 2sin2xになるのですが、


2cos2xになります。

合成関数の微分
関数f(x),g(x)の微分がそれぞれf'(x),g'(x)の時、
合成関数f{g(x)}の微分は[f{g(x)}]'=f'{g(x)}*g'(x)です。
今回の質問ではf(x)=sinx,g(x)=2xなので
f'(x)=cosx
g'(x)=2
ゆえに(sin2x)'=[f{g(x)}]'=cos(2x)*2
質問文の場合、最後の*2、つまりg'(x)が足りません。
    • good
    • 0

まず、


(sin(2x))'=2*cos(2x)
です。

合成関数の微分は、
y=f(u)、u=g(x)
と書ける時、
dy/dx=(df(u)/du)*(dg(x)/dx)
の計算をします。
yをuで微分し、uをxで微分するわけです。

今回の場合、
y=sin(u)、u=2x
とおいて、
dy/dx=((d/du)sin(u))*((d/dx)2x)
=cos(u)*2
=2*cos(2x)
となります。
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q三角関数の微分の問題で

関数 y=cos ax の導関数を定義に従って求めよ。

という問題でどうすればいいかわりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

> 計算したら-sin(ax)になったんですが

df/dx = lim[h→0] { ( f(x+h) - f(x) ) / h } は ok。
lim[h→0] { ( cos(ax+h) - cos(ax) ) / h } が既に間違い。
丁寧に、定義式へ当てはめよう。

lim[h→0] { ( cos(ax+h) - cos(ax) ) / h } = - sin(ax)
という計算は正しいけれど…

Q【合成関数】の基本的な考え方について

独学で高校数学を勉強している者です。

いわゆる「合成関数」と呼ばれる式の計算過程が
理解できておりません(「微分」の項目で登場してきました)。

具体的には、下記の式を元にすると、

 f(x) = x - 5
 g(x) = 2x - 3

それぞれ
 f(g(x))=f(2x - 3)=(2x - 3)- 5=2x-8
 g(f(x))=g(x - 5)=2*(x - 5)- 3=2x-13

となるようですが、理解できません。
そもそも、どのような考え方に基づいて、式が展開されているのでしょうか?

かなり基礎的な箇所でつまづいており、お恥ずかしいですが、
ご指導下さいますよう、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

合成関数やらをやっているということは、三角関数はやっているんではなかろうかということで書いてみます。

y=sin(2x)
という関数がありますね。
三角関数の分野なら「これを倍角の公式でsinとcosの積にして…」とか、「周期は2πの半分になって…」とかすると思いますが。
結局sin(2x)とsin(x)の違いって何かな、と思った時、sin(2x)はsin(x)のxの部分が2xに置き換わっているんだな、ということがわかります。
この「置き換える」という作業こそが、「代入」ということです。
今回は、xに2xを代入しました。それが代入するのはzでもいいし、aでもいいし、f(x)でも構いません。
ただし、1つ注意があります。「置き換えた後も、計算のルールは変えてはいけない」ということです。

例えば、
f(x)=x^2+5x+6
があったとします。
このxに3を代入することを考えますと、特に何も考えなくても
f(3)=3^2+5*3+6=30
とできるかもしれませんね。でもなんでこうできるんでしょうか?
それは、f(x)が
f(x)=x*x+5*x+6
という、掛け算と足し算のルールにより成り立っており
このxに3を代入するという行為は、
f(x)=x*x+5*x+6
の全てのxと3を置き換えるという行為だと解釈できるからです。

ここで、g(z)=2z-3として、これをf(x)に代入することを考えます。
上の話でいうなら、
f(x)=x*x+5*x+6
のxを全てg(z)に置き換えればいいわけです。
よって、
f(g(z))=g(z)*g(z)+5*g(z)+6
となりますね。
で、g(z)=2z-3ということはg(z)と2z-3を入れ替えてもいいわけですから
f(g(z))=f(2z-3)=(2z-3)*(2z-3)+5*(2z-3)+6
となり、あとはこれを展開すればf(g(z))を得ることができます。

参考になれば幸いです。

合成関数やらをやっているということは、三角関数はやっているんではなかろうかということで書いてみます。

y=sin(2x)
という関数がありますね。
三角関数の分野なら「これを倍角の公式でsinとcosの積にして…」とか、「周期は2πの半分になって…」とかすると思いますが。
結局sin(2x)とsin(x)の違いって何かな、と思った時、sin(2x)はsin(x)のxの部分が2xに置き換わっているんだな、ということがわかります。
この「置き換える」という作業こそが、「代入」ということです。
今回は、xに2xを代入しました。それが...続きを読む


人気Q&Aランキング