出産前後の痔にはご注意!

X≧0、Y≧0のとき2X+Y=8が成り立つとする。 XYの最大値と、その時のX,Yの値を求めなさい。 この問題が全然わかりません 回答の途中式で XY=X(-2X+8)になってるんですけど・・・意味がわからない。。。

おしえて!!!ください・・・。。。。。。

A 回答 (4件)

こんにちは



2X+Y=8
により
Y = -2X+8

Z = XY と置いて、
Z = XY = X(-2X+8)

つづきもやりますか。

Y≧0 より
-2X+8 ≧ 0
X ≦ 4
よって、Xの範囲は
0≦X≦4

Z = XY = X(-2X+8)
 = -2X^2 + 8X
 = -2(X^2-4X)
 = -2(X^2-4X+4) + 8
 = -2(X-2)^2 + 8

Zが最大になるのは、X=2 のとき。
Zが最小になるのは、Xの範囲の端っこ。つまり、X=0 のときか X=4 のとき。

ここまで来れば、大丈夫ですか?

なお、私は計算ミスが多いので、検算してください。
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おはようございます。



数式がY=aX+bの直線であることが理解できるようでしたら、X,Yともに>=0であるときの
グラフの座標で見えるようにしてみればいかがでしょう。

即ち、Y=-2X+8です(右肩下がりの直線)。
Y=0のときとはX切片(Xが最大になる座標)、X=0とはY切片(Yが最大になる座標)のことが言えますね。
つまりグラフではX軸とY軸の交差する4分割のエリアの右上がX>=0、Y>=0です。

グラフでも計算式でも理解が出来ると良いですね。
計算で難しいときは目に見えるようにすれば簡単に見えてくると思います。

代数、幾何の両方の視点になれておきましょう。
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XY=X(-2X+8) は単に 2X+Y=8 を使ってYを消去しただけです。

これでXYは一つの変数で表せたことになり、この式の右辺を-2(X-2)^2+8と変形するとX=2のときに最大値となることが分かりますね。その最大値は8です。 X=2のとき Y=4ですから、これはX≧0、Y≧0の条件を満足していますね。
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>2X+Y=8が成り立つとする



ということは、X が決まれば Y も自動的に決まる。ということ
ということは、XY の値も X が決まれば求まる。


というようなことを、先生は解説しているはずなんですけど黒板に書かれないことが多いですね。
黒板には XY = X(-2X+8) .... のような計算式だけが並び、それをノートに取るだけでは足りません。

先生が喋ったことまでノートに書くのは追い付かない、という人はあらかじめ予習をしてから授業に出ましょう。
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