温度Tの熱浴と熱平衡にある系のエネルギーUが、U=Vu(T)で与えられるときに準静的過程で体積変化させたときの熱の出入りとエントロピーの式の求め方がわかりません。Vは体積、uは単位体積あたりのエネルギーで温度の関数で系の圧力はp=u(T)/3です。
また、定積過程の場合も知りたいです。

計算したらRlogVになってしまいました。うーん・・・

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A 回答 (1件)

T,V が独立変数になっています.


(1)  U = Vu(T)
(2)  p = (1/3)u(T)
で,u(T) も p も V によらないのが特徴です.

(3)  (∂U/∂V)_T = T(∂p/∂T)_V - p
に(1)(2)を代入しますと
(4)  T(du/dT) - 4u = 0
になり,積分して
(5)  u(T) = aT^4  (a は定数)
が得られます.
u(T) と p(T) がわかりましたから,
熱力学第一法則の式に入れれば d'Q が求まります.
あとはなんとかなるでしょう.

(3)は一般に成り立つ式です.
(6)  dU = T dS - p dV
の両辺を V で偏微分した(T 一定)
(7)  (∂U/∂V)_T = T(∂S/∂V)_T - p
と Maxwell の関係式
(8)  (∂S/∂V)_T = (∂p/∂T)_V
を使えば直ちに導出できます.

この系は輻射場(光子気体)です.
u が T^4 に比例するのは Svtefan-Boltzmann 則に他なりません.

気体定数の R が現れる余地はありません(光子気体は数が不定です).
どういう計算をされたかわかりませんが,
結果に R が現われたということは,計算の途中で(無意識に?)理想気体の場合に
成り立つ式を使ってしまっているということを示唆しています.

この種の間違いは熱学を教えているとしょっちゅう目にします.
つまり,ある式が
○ 定義なのか?
○ いつでも(どんな系でも,あるいはどんな過程でも)成り立つ式なのか?
○ 特別な系,あるいは過程について成り立つ式なのか?
の区別がはっきりしていないのでしょう.
あるいは,テキストの前後関係をよく見ずに使えそうな式を拾って来る,など.
こういう現象は熱学に限ったことではないですが,
熱学は特にいろいろな式が出て来ますのでよく見かけます.
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