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積の微分法と合成関数の微分法の使い分けがわかりません。

どういう時に積の微分法を使いどういう時に合成関数の微分法を使うのですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

どういう時が、それぞれの使える場合かといえば、


経験を積んで、パターンを覚えるしかあるまい。
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「使い分け」という発想が、そもそも、


積分についての根本的な誤解から
生じたものだと思われる。

よく知られた被積分関数であっても、
積分の結果が既知関数の合成で表示できる例は
極稀であって、ほとんどの場合、積分に対して
数値計算よりマシな対処法は存在しない。

歴史的には、応用上重要な積分には名前をつけて
既知ということにしてしまう…
という手法がとられてきた。
特殊関数論の教科書から、人名のついた関数を
もってくるまでもなく、対数関数や逆三角関数も、
その例である。

それを踏まえて…
使い分けるなんておこがましい。
どっちかタマタマ使える時には、使うだけのこと。
どちらも使えない場合が、大半なのだ。
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積の微分法の例


(これは合成関数の微分法を適用できません)
{sin(x)*log(x+1)}'={sin(x)}'*log(x+1)+sin(x)*{log(x+1)}'
=cos(x)log(x+1)+sin(x)/(x+1)

合成関数の微分法の例
(この部分は積の微分法は適用できません。)
{log(2*sin(x))}'=[1/{2sin(x)}]*{2*sin(x)}'
=[1/{2sin(x)}]*2*cos(x)
=cos(x)/sin(x)=cot(x)
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微分したい関数が二つの関数の積の形に表されていれば積の微分法を使い、


微分したい関数が二つの関数の合成になっていれば合成関数の微分法を使います。

また、積と合成の複合である場合も考えられます。
その場合は、それぞれの微分法を順次使います。


具体的には、
例えば、
  (e^x)*sin(x^2)
の微分ならば、
  f(x) = e^x
  g(x) = sin(x^2)
と置けば、元の関数は
  f(x)*g(x)
と積の形で表されますから、積の微分法を使います。
さらにg(x)を微分する際に
  g(x) = sin(x^2)
がsin(x)とx^2の合成になっていますから、合成関数の微分法を使います。


別の例では、
  sin(x*(e^x))
の微分ならば、
  f(y) = sin(y)
  g(x) = x*(e^x)
と置けば、元の関数は
  f(g(x))
と合成の形で表されますから、合成関数の微分法を使います。
さらにg(x)を微分する際に、
  g(x) = x * e^x
がxとe^xの積になっていますから、積の微分法を使います。
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