積分計算について

積分計算について

∫1/(a^2-x^2)^(1/2)
という問題ですが、参考書にはx=asintとおいて、与式=arcsin(x/a)となっています。


x=acostとおいて解いてもよいのでしょうか。
x=acostとおくと答えは-arccos(x/a)となりました。
これでは間違いでしょうか。

ご回答お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： hachijo 回答日時： 2010/07/01 23:44

No1さんのおっしゃるとおり、積分定数の違いです。

ただ、私もピンとこなかったので、次のようなことをやってみました。



(1)実際に証明してみる

単に積分定数の違いならば、答えの差はxに関係ない値になるはずです。
すなわち、arcsin(x/a)+arccos(x/a)=定数…(☆)が示せればよいわけです。

ここで、arcsin(x/a)=α、arccos(x/a)=βとおくと、sinα=x/a、cosβ=x/a、∴sinα=cosβとなります。
従って、三角関数の変換から、α+β=π/2となり、☆式が示されました。



(2)ためしに積分区間を設定して解いてみる。

[arcsin(x/a)](0→a/2) = π/6 - 0 = π/6

[-arccos(x/a)](0→a/2) = -(π/3 - π/2) =π/6

ああ、確かにあっているな、と。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/05 12:01

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/01 15:27

積分定数が違うだけだからどっちでもいいといえばいい.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/05 12:01