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陰関数の問題。

x^3-3xy+y^3=0で与えられる陰関数の極値を求めたいのですが

答えが上手く出ません。
自分がやった結果、
x=-1で
y^3+3y-1=0を満たすようなyの組みで極値をとるというところまで進めて、行き詰まりました。

よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

これはデカルトの正葉線( x^3 - 3*a*x*y + y^3 = 0 )の a = 1 の場合で、概形は添付図のようになります。

ここ(http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/tahensuu …)の10ページにあるように
   x = 3*t/( 1 + t^3 )、y = 3*t^2/( 1 + t^3 )
と媒介変数 t で表わして、y が極値を取るときの t の値を求めてはどうでしょうか。添付図から、どのあたりに極値があるか分かると思います。
「陰関数の問題。」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございます!お礼が遅くなって申し訳ありません!グラフにするとよく理解できました。

お礼日時:2011/08/22 13:12

x^3 - 3xy + y^3 = 0 の両辺を x で微分して、


3x^2 - 3y - 3x(dy/dx) + 3(y^2)(dy/dx) = 0。
dy/dx = 0 となる点が、y の極値の候補となる。

3x^2 - 3y = 0 と x^3 - 3xy + y^3 = 0 を連立して、
y を消去すると、(x^3)(x^3 - 2) = 0。 
これの解 x = 0 と x = 2^(1/3) の近傍での
y の様子を調べれば、

x = 0 で極小値 y = 0、
x = 2^(1/3) で極大値 y = 2^(2/3) を
とることが解る。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!お礼が遅くなって申し訳ありません!
極値の問題で躓くのはなんだか悔しいですが、精進します!
解法がよくわかりました!

お礼日時:2011/08/22 13:13

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