コインの表裏の確率が分かりません。。

コインの表裏の確率が分かりません。。
というのも、コインが４枚あって、表が二つ出る確率を求めるのに対して回答は

Ｐ＝４Ｃ２/２＾４
と書いてありました。

恐らく４Ｃ２というのは
Ｓ＝｛表表裏裏、表裏表裏、表裏裏表、裏表表裏、裏表裏表、裏裏表表｝＝６
のことを指していると思うのですが、この４枚のコインはそもそも区別出来ないので
結局、表表裏裏＝表裏表裏＝。。。　というようになって
Ｓ＝｛２枚表、２枚裏｝＝１
となるんではないでしょうか？
分かりやすく言うと、ＡＢＣＤという文字があってそこから２文字取れといわれたら
４Ｃ２つまり、
Ｓ＝｛ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＢＣ，ＢＤ、ＣＤ｝＝６
ですが、ＡＢ＝ＢＡというように一文字目にＡが着た場合とＢが着た場合は同じとみなしてダブルカウントされません。

同じように表が二枚、裏が二枚の時も、表表裏裏＝表裏表裏。。。となっていって、
４枚の組み合わせ全部の可能性を書き出すと
Ｓ＝｛４枚表、３枚表１枚裏、２枚表２枚裏、１枚表３枚裏、４枚裏｝の５通りになり
表２枚、裏２枚の確率は
Ｐ＝１／５

になるんではないんでしょうか？

でも答えはＰ＝４Ｃ２／２＾４と書いてあります。。

わけが分かりません。。。
どなたか教えていただけませんでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/07/07 18:58

No.2です．再び．

質問者さんの混乱の原因は，試行の結果の（区別しうる）数を数えることだけを考えて，それぞれの結果の『起こりやすさ』の大小を全く無視している点にあるように思えます．

1等から4等の当たりのあるガラガラ抽選を1回ひいたら，結果の可能性は1等，2等，3等，4等，ハズレの5通りです．でも，1等が当たる確率は1/5ではありませんよね．

「n通りの結果が起こりうる試行で，結果が指定したm通りのどれかである確率は m/n」という計算が通用するのは，起こりうるn通りの結果のひとつひとつが「同じ程度『起こりやすい』」場合だけです．

4枚コインの場合，結果の可能性を「0枚表，1枚表，2枚表，3枚表，4枚表」の5通りに分類すること自体は別にかまいません．でも，この分け方をしても，直ちに「2枚表の確率は 1/5」と結論できるわけではありません．これら5つの結果それぞれの「起こりやすさ」が等しいと考える理由がない（実際，等しくない）からです．
一方，4枚のコインを区別して，表表表表，表裏裏表，裏裏表表，…などの16(=2^4)通りの結果の可能性を考えるなら，どの結果も「起こりやすさは同じ」と信じることができます．だからこそ，「これら16通りのうち『2枚表』になっているのは6(=4C2)通りなので，2枚表の確率は 6/16」と計算することが正当化できるのです．

m/n という簡単な計算で確率を求めるためには，

(1) 起こりうる結果の全体を「起こりやすさが等しい（と確信できる）」n通りの場合に分割できる
(2) 着目している結果が，(1)で分けた場合のうちm通りを合わせることで表現できる

という2つの条件が必要です．
同一の複数のコインを投げる試行で「コインは区別されていると考える」のは，そうすることで「どの結果も起こりやすさが等しい」ように結果の全体を分割できて，しかも「2枚表」は分割された場合のいくつかを集めることで表現できるからです．
「0枚表，1枚表，2枚表，3枚表，4枚表」という場合の分け方は，(1)をみたしていないのです．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

多分私は、確率＝制限された事情が起こる全パターン/制限されてない全ての全パターン
としていて
起こりやすさをboisewebさんの言うとおりカウントしてなかったと思います。
この場合パターンの数を計算するのに組み合わせを使うのではなく、起こりやすさを計算するのに使われていたんですね！
なるほど。
なんとなく分かってきた気がします。

お礼日時：2010/07/14 11:54

No.6 回答者： windwald 回答日時： 2010/07/06 21:57

極端な話ですが、

コインが1万枚あって、
1万枚とも表が出る確率と、9999枚が表になり1枚が裏になる確率が全く同一だとお考えですか？

確率の考え方の基本の「独立」があります。
複数枚のコインの表裏は、「1枚の表裏が1/2で出る」の反復でもとまります。
たとえば2枚のコインがどちらも表になる確率は、
「1枚目が表」かつ「2枚目が表」なので
(1/2)*(1/2)=1/4です。

同様に4枚のコインが表になる確率は、(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/16
となり、1/5ではありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確かに極端に考えると自分の理屈が間違ってるのは明白だと分かりました。

お礼日時：2010/07/14 11:50

No.5 回答者： a032134a 回答日時： 2010/07/06 17:58

他の方の言う通りだと思いますので、私の考えをまとめておきます。

区別はコインそのものでなく、コインがどこに入るかで考えています。

まず、コインのすべての事象は１６通りです。２^４（2*2*2*2)ですね。
１）すべて同じ目の場合
それぞれ１つずつ　２個
２）裏、表がそれぞれ1つしか出ない
それぞれ４つなので８個

あとは、２つずつ出る事象なので16-10で６個

よって6/16＝3/8です。

数えられる場合はこれでいいんですが

計算式としては、4Ｃ2は2枚表を引く確率
(1/2)^4は裏が出る確率と表が出る確率は同じなので４乗ですよね？

なのでＰ(A)＝4Ｃ2(1/2)^4が式になるので、答えは書いてある通りになります。

私は数学の専門家ではないので、数学の先生に聞くのが早いかもしれないですね。

参考URL：http://gascon.cocolog-nifty.com/blog/

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2010/07/14 11:49

No.4 回答者： -ok 回答日時： 2010/07/06 17:12

結論から言うと、確率を求めるときはコインを区別しないといけません。

>Ｓ＝｛４枚表、３枚表１枚裏、２枚表２枚裏、１枚表３枚裏、４枚裏｝の５通りになり　表２枚、裏２枚の確率は　Ｐ＝１／５

上のＳの要素はそれぞれひとつの事象です。しかし、ある事象がおこる確率を求めるためには事象のレベルではなく、根元事象（それ以上場合分けできない事象）のレベルで考える必要があります。根元事象は、いまの場合には「表表裏裏」、「表裏表裏」・・・という４枚のコインの裏表のパターンです。根元事象を考える際には個々のコインを区別します（区別しなければ、区別することにより事象をまだ場合分けできるので、根元事象とはいえません）。番号を振るなどすれば、コインは容易に区別できます。いまの場合、すべての根元事象はみな同じ起こりやすさをもっています。そこで、「２枚表２枚裏」という事象が起こる確率は
その事象に含まれる根元事象の数　÷　すべての根元事象の数
= 4C2 / 2^4
となります。

>男の子二人女の子二人というのは、区別して考えろということなんでしょうか。。

４人の子供が座る椅子を用意して、その椅子を区別して考えればよいでしょう。

↓でも見て確認してください。
http://kakuritsu.hp.infoseek.co.jp/kaku.html

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり確率を導き出す時は区別すると認識しました。
リンクのページ、私の確率のバイブルにしたいと思います。

お礼日時：2010/07/14 11:47

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2010/07/06 14:38

＞＞＞

恐らく４Ｃ２というのは
Ｓ＝｛表表裏裏、表裏表裏、表裏裏表、裏表表裏、裏表裏表、裏裏表表｝＝６
のことを指していると思うのですが、

そのとおりです。
ただし、区別しているからこそ 4Ｃ2 になっています。
ですから、分母が　２^4　なのです。

二進法で考えるとわかりやすいです。
小さい順番に
００１１
０１０１
０１１０
１００１
１０１０
１１００
この６通りしかありません。
６というのは、４つの桁のうちから１の場所を２つ選ぶ組み合わせの数です。

００００　から　１１１１　までの数は２^4 通りあります。

ですから、4Ｃ2／２^4　通りです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

やはり区別されてたんですね。
区別がつかなかったらでは確率は1/5なんでしょうか？；；

お礼日時：2010/07/07 02:04

No.2 回答者： boiseweb 回答日時： 2010/07/06 14:38

同じ理屈でいくと，10枚の同一のコインを投げたら，表裏が5枚・5枚で出る確率も，10枚・0枚で出る確率も，等しく1/11になりますよね．

次のような博打を考えましょう．
お客は「10枚の同一のコインを投げて表が出る枚数」を予想して賭ける．予想が当たったお客は賭け金の10倍を得る．
あなたの考えのとおりなら，お客は0枚～10枚のどれに賭けても1/11の確率で10倍の当たりになるので，戻ってくるお金の期待値は（どれに賭けるかに関係なく）賭け金の10/11で，1/11が胴元の取り分の期待値となります．

さて，あなたは，この博打の胴元になる気はありますか？

もしあなたが胴元で，私が客なら，「表5枚」に100回ぐらい賭け続けて，あなたを破産させます．
10枚のコインを投げて表が出る枚数は0,1,...,10の11通りですが，それらの「起こりやすさ」には偏りがあって，「表5枚」は1/11よりずっと高い確率で起こるのです．

見方を変えて，当初の4枚コインの問題で，あなたの言うように「2枚表」の確率が1/5としましょう．
あなたは同一のコイン4枚を投げる実験を何度もしていました．それを横で見ていた人が，突然コインを取り上げて，4枚のコインにそれぞれ赤・青・黄・緑のスプレーを吹き付けて，返してよこしました．
さて，あなたは返された4色のコインを使って実験を続けたとしましょう．コインに色がついたとたんに，「2枚表」の確率は，1/5 から 3/8 (= 4C2 / 2^4 ) に変化するでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確かに博打の観点からしても私の求めた確率は間違ってるような気がします。
４枚のコインそれぞれ区別できないものから区別出来るものになった途端同じコインを使ってるのにも関わらず確立が変動するというのはおかしいですよね。。
だとすると、4C2/2^4が正解のように思えますが、
何故自分の理屈が間違っているのか少しまだ理解するのに時間かかりますが、ありがとうございました。

お礼日時：2010/07/07 02:03

No.1 回答者： sw200919 回答日時： 2010/07/06 14:24

あまり自信はありませんので参考程度に。

。。

回答から考えると、質問者様が言っているダブルカウントは
ダブルカウントするのが正解ということになります。

正確な問題文がわからないのでなんとも言えませんが、
結局コインは全て区別できる、ということなんだと思います。

1円玉、5円玉、10円玉、100円玉のように区別できるのなら
回答の通りで納得できませんか？

または…
4枚を同時に投げて落下してぐちゃぐちゃになってどれがどれかわからないけど
とにかく表と裏の数だけをカウントするなら質問者様の答えになりますが、
一枚ずつ順番に投げていけば回答の通りになると思います。
要するに｛表表裏裏｝と｛表裏表裏｝は別物と考えるってことです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

確かに、区別出来るものとしてカウントすれば、納得がいくんですが。。
問題の例文は
４人子供が居て、男の子二人女の子二人の確率を答えなさい。（男と女の生まれる確率は同じとする）
だったのですが、分かりやすくするためコインに例えて脚色しました。
男の子二人女の子二人というのは、区別して考えろということなんでしょうか。。

お礼日時：2010/07/06 14:29