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2.0×10^-6(c)の正電荷および、-1.0×10^-6の負電荷をもつ二つの小球A,Bをa(m)話して固定する。電位が0となる点の位置を求めよ。

こういう問題なのですが、僕は電位が0になる点が3つできる(Aの左に一つ、AとBの間にひとつ、Bの右側に一つ)とかんがえたのですが、間違いでしょうか。

解説よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

間違いです


Aの左側には電位が0の点は出来ません
考え方はプラスの電荷Aはとマイナスの電荷Bの大きさ比は2:1ですね
電位が0になるのはこの線分ABを2:1に内分する点と外分する点の2点に出来ます
つまりAから2a/3離れた点
Aから2a離れた点
の2点です

計算で出すと
Aを原点とすると
・B点より左の点の場合
Aが作る電位はk*2.0*10^-6/r[V]
Bが作る電位はk*(-1.0)*10^-6/(a-r)[V]
ある点の電位はこれらの合計なので
k*2.0*10^-6/r + k*(-1.0)*10^-6/(a-r)[V]
問題はこれが0の位置を求めることなので
k*2.0*10^-6/r = -k*(-1.0)*10^-6/(a-r)
2/r = 1/(a-r)
r=2a/3

・B点より右の点の場合
Aが作る電位はk*2.0*10^-6/r[V]
Bが作る電位はk*(-1.0)*10^-6/(r-a)[V]
ある点の電位はこれらの合計なので
k*2.0*10^-6/r + k*(-1.0)*10^-6/(r-a)[V]
問題はこれが0の位置を求めることなので
k*2.0*10^-6/r = -k*(-1.0)*10^-6/(r-a)
2/r = 1/(r-a)
r=2a
(前提条件にこれらの点電荷は直線上にありAが左、Bが右にあると付け加えます。)


補足
ほとんど同じですが考え方をもう一つ
2つの円を想像してください
円の大きさは電荷の大きさの比です
今回の場合2:1です
この円は符号は逆ですが同じ電位の大きさを表しています。
それなので円を大きくしていきぶつかったところが電位が0です
円を大きくしていくと外接する時と
Aの円にBの円が内接する時の2回ぶつかる事が分ります
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変な問題ですね。

「電位が0となる点の集合を求めよ」ではないですか? それなら、答えはある球面になります。

まず、こういう問題に向かう時の基本的な姿勢として、電荷の位置をxyzの座標で表しましょう。計算を簡単にするため、正電荷を原点に、負電荷をz軸上正方向に置きましょう。つまり、正電荷の座標を(0,0,0)、負電荷の座標を(0,0,a)と置くわけです。

そうした上で、点(x,y,z)における電位を考えましょう。正電荷+2q(数字は面倒なので1.0×10^-6 [C]をqと置きます)と負電荷-qとが点(x,y,z)に作る電位E1,E2はそれぞれ次のように表されます。

E1 = (1/4πε)(2q/r1)
E2 = (1/4πε)(-q/r2)

ここで、r1とr2は、それぞれ点(0,0,0)と点(0,0,a)から点(x,y,z)までの距離です。

電位については「重ね合わせ」の法則が成り立ちますので、点(x,y,z)の電位EはE1とE2の和になります。

E = E1 + E2

問題の解は、E = 0 とおけば得られます。すなわち、

(1/4πε)(2q/r1) + (1/4πε)(-q/r1) = 0

ここから後は、高校数学の問題です。

移項して両辺を定数倍すれば

2/r1 = 1/r2

両辺にr1r2を掛けて

2r2 = r1

両辺を平方して

4r2^2 = r1^2

ピタゴラスの定理から

4[x^2+y^2+(z-a)^2] = x^2+y^2+z^2

移項して3で割ると

x^2+y^2+z^2-(8az)/3+(4a^2)/3 = 0

zの部分について平方完成させると

x^2+y^2+(z-4a/3)^2-(16a^2)/9+(4a^2)/3 = 0

定数項をまとめて右辺に移項すれば

x^2+y^2+(z-4a/3)^2 = (4a^2)/9

これは、点(0,0,4a/3)を中心とする半径 2a/3 の球面を表す方程式です。これが答えです。

この球面とz軸との交点について敢えて求めれば、点(0,0,2a/3)と点(0,0,2a)になります。一つ目の点は小球AとBとの間、二つ目の点は小球Bの上方になります。しかし、この2点だけを答えるのでは、不十分です。
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訂正です


補足内
ぶつかる

接する

あと計算内のkは比例定数です
k=1/4πε0≒9*10^9
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