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図のような一端ピン支持された質量の無視できる長さlの剛体棒の一端に質量mの物体がつけられ、中央のばねが支えている。ちょうど水平で釣り合っているとするとき、この系の固有振動数を求めよ。

これをラグランジュの方程式で解いたところ
L(ラグランジアン)=(m/2)l^2(dθ/dt)^2-mglsinθ-(1/2)k×(lθ/2)^2より
ml^2d^2θ/dt^2=-mgl-kl^2θ/4
となって単振動の式ではなくなってしまうのですが、どこがまちがっているのかご指導お願いします。
(sinθ=θとする。)

「図のような一端ピン支持された質量の無視で」の質問画像

A 回答 (1件)

つりあい位置を原点とする単振動系においては,重力はキャンセルされる運命にあるので知っておくとよいでしょう。

鉛直ばね振子でもそうでしたよね?

つりあい位置で,ばねの縮みをx0とすると
kx0・l/2 = mg・l  ∴ x0 = 2mg/k

L = 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ - 1/2 k(x0 - lθ/2)^2
= 1/2 ml^2θ'^2 - mglθ -1/2 kx0^2 + 1/2 kx0lθ - 1/8 kl^2θ^2
= 1/2 ml^2θ'^2 -1/2 kx0^2 - 1/8 kl^2θ^2

第2項は定数なので捨ててよく,

L = 1/2 ml^2θ'^2 - 1/8 kl^2θ^2

あとは,できますね?

なお,蛇足ですが,仮にあなたが与えた結果が正しい場合でも,単振動の微分方程式であることには変わりありません。

θ'' = -ω^2 θ + C

の形の場合,

d^2/dt^2 (θ - θ0) = -ω^2(θ - θ0)

と書き換えることができますね?
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この回答へのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。助かりました!

お礼日時:2010/07/09 07:41

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Q機械力学の問題について

下図に示す剛体棒の長さ l の先端部に質量 m のおもりが付いている。

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     答えは ml^2 x (d^2θ/dt^2) + ka^2θ = 0 なんですが、

     もっと勉強しろ!って突っ込まれるのを覚悟でお聞きしたいのですが、

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    Q2.なぜdを二乗するんでしょうか?
    Q3.t^2は重力加速度だと思うのですがdが解らないためにdt^2が
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ご教示頂けたら幸いに存じます。     

Aベストアンサー

Q1.微分記号です
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Q3.時間による二階微分を示しています
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微分を学んでください。運動方程式は微分方程式ですから,微分を基礎からしっかり学ばないとまったく意味不明で終わります。

Q振動力学の問題が分からないので教えてください

振動力学の問題が分からないので教えてください。

図に示すように両端に質量mを有する軽い剛体棒が2つのばね(ばね定数k)に支持され振動している。
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Aベストアンサー

こんばんは。
この問題について、ちょこっと考えてみました。

左側のバネの伸び x1
右側のバネの伸び x2
質量mが先についている棒と水平方向のなす角度をθとする

微小変位なので、
 sinθ = tanθ = (x1-x2)/l
という関係があります。

すると、
 質量mの変位y = バネBの伸び + 2l{(x1-x2)/l} = x2 + 2(x1-x2) = 2x1-x2
 速度v = dy/dt = 2・x1' - x2'
 運動エネルギー T = (1/2)・mv^2 = (1/2)・m・(2・x1' - x2')^2
 = (m/2)・(4・(x1')^2 -4・x1・x2 + (x1')^2)

一方、バネのポテンシャル・エネルギーUは
 U = (1/2)・k(x1)^2 +(1/2)・k(x2)^2

よって、ラグランジアンLは
 L = T- U = ……
ラグランジアンが求まったのだから、これをラグランジュの方程式に入れて、
一生懸命、計算をすれば、
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やると、
 ───暗算による、極めていい加減な推測です。間違っている可能性は大アリ!!
ですから、真面目に計算してください───
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 m・(x2''-2x1'') = -kx2

で、
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 x2 = Csinωt + Dcosωt
として、求めた運動方程式に代入して、A、B、C、Dの関係と、ωを求める。
面倒なので、やる気はまったくありません。

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Q剛体棒の振動

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穴を空け、微細振動θをさせるとき。

(1)慣性モーメントの求め方

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g(1-cosθ)

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穴の短端・長端の間の正負の取り方を含め、わからないことが多いです。
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Aベストアンサー

問題の振子は固定軸の周りの回転運動となりますから、運動方程式はモーメントの釣り合いの方程式となります。
鉛直上方にy軸をとり、y軸と棒のなす角をθとおきます。剛体の棒の固定軸周りの慣性モーメントをI、角速度をω(=dθ/dt)、トルクをNとするとニュートンの運動方程式はI(dω/dt)=I(d/dt(dθ/dt))=Nとなります。方程式の左辺ですが、慣性モーメントIは平行軸の定理よりI=Ig+MR^2と書けます(#1のURL参照)。Igは重心周りの慣性モーメントでIg=(1/12)ML^2。Rは固定軸から重心までの距離で今の場合R=(L/2-x)となります。棒は重心点に鉛直下方にMgの力(力の方向はマイナス方向であることに注意)を受けています。従って棒の受けるトルクNはN=Rsinθ・(-Mg)となります。今θは微小とするとsinθ≒θとなりますので方程式はd^2θ/dt^2=-(MgR/I)θ=k^2θとなります。これはよく見る単振動の微分方程式ですね。後はご自分で是非フォローしてみてください。

Q一自由度の振動の問題です。(機械力学)

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ばねKと棒の支点とを結ぶ垂線の交点と、支点、棒への接続点で作られる三角形は、直角三角形になります。
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垂線の交点、支点、棒への接続点のなす角は、(90°/2)+(θ/2)=(90°+θ)/2となります。
したがって、ばねの長さ=2(sin((90°+θ)/2)×ℓ/2)=ℓsin((90°+θ)/2)となります。
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Q剛体振り子の周期

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Aベストアンサー

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すなわち
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これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q片持ち梁のバネ定数の求め方

片持ち梁のバネ定数の求め方を教えて下さい。どうも係数に12がついているのが納得できません。

Aベストアンサー

No.1 の Linandtete です。
はりが長方形断面であり、その荷重方向厚さが w、力と直角方向の(幅と言えますが)長さが t であれば、断面2次モーメントは I=tw^3/12 で得られます。
なお、k=12EI/L^3 と表されるばね定数は、片持ちばり荷重端で回転を拘束した場合の値に相当します。ばね定数をより一般的な形にすれば「要素剛性行列」という概念に達し、そこでしばしば使われる値ですから、 誤植か勘違いされた「解答」だと思われます。

Qバネの固有振動数を求める問題が分かりません。

バネの固有振動数を求める問題が分かりません。

下の図の(a)~(d)に示す系の固有振動数を求める問題が分かりません。ばね

x=Ae^jωtと置いて計算していき

(a)は多分
ω=√(k1/m)
となり
f=1/2π・√(k1/m)
になりました。

(b)も同様に
ω=√{k1k2/m(k1+k2)}
となり
f=1/2π・√{k1k2/m(k1+k2)}

(c)(d)が分かりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

運動方程式が

m d^2x/dt^2 = -k' x

であるとき、固有角振動数はω= √[k'/m]。

(a)はそのままk'=k1なので、ω= √[k1/m]。

(b)は合成系のバネ定数k'を求めるために、つりあいを考える。
両方のバネに同じ力mgがかかるので、それぞれのバネの伸びをx1, x2とすると

mg = k1*x1 = k2*x2 から x1=mg/k1, x2=mg/k2

重りの移動距離はx=x1+x2 = (1/k1+1/k2)mg=[(k1+k2)/k1k2]mg
連結したバネ全体のバネ定数をk'とすると、

mg = k'x = k' [(k1+k2)/k1k2]mg ∴ k' = k1*k2/(k1+k2)

固有角振動数は

ω=√(k'/m) = √[k1*k2/m(k1+k2)]

(c)は、それぞれのバネの自然長をl1,l2, 天井と床の距離をdとすると、天井を原点にして下向きにx座標を取ることにすると、バネから重りにかかる力は

-k1(x-l1) + k2(d-x-l2) = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d

なので、運動方程式は

md^2x/dt^2 = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d +mg = -(k1+k2)(x + A) (Aは定数)

Aが定数なのでx -> x'=x+Aという変数変換で

md^2x'/dt^2 = -(k1+k2)x'

となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]

(d)もそれぞれの自然長をl1,l2として天井を原点に取り下向きにx軸を取るとバネの力は

-k1(x-l1)-k2(x-l2)

なので、運動方程式は

md^2x/dt^2 = -k1(x-l1)-k2(x-l2) + mg = -(k1+k2)x + k1l2+k2l2 +mg = -(k1+k2)(x + B) (Bは定数)

おなじくx''=x+Bの変数変換で

md^2x''/dt^2 = -(k1+k2)x''

となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]

運動方程式が

m d^2x/dt^2 = -k' x

であるとき、固有角振動数はω= √[k'/m]。

(a)はそのままk'=k1なので、ω= √[k1/m]。

(b)は合成系のバネ定数k'を求めるために、つりあいを考える。
両方のバネに同じ力mgがかかるので、それぞれのバネの伸びをx1, x2とすると

mg = k1*x1 = k2*x2 から x1=mg/k1, x2=mg/k2

重りの移動距離はx=x1+x2 = (1/k1+1/k2)mg=[(k1+k2)/k1k2]mg
連結したバネ全体のバネ定数をk'とすると、

mg = k'x = k' [(k1+k2)/k1k2]mg ∴ k' = k1*k2/(k1+k2)

固有角振動数は

ω=√(k'/m) =...続きを読む

Qダッシュポットとバネを直列につないだ伝達関数

質問させて頂きます.
図のようなダッシュポットとバネを直列につないだマクスウェルモデル(i),(ii)について,外力u(t)=Rsinωtとして伝達関数y(t)/u(t)の導出過程を教えてください.
宜しく御願い致します。

Aベストアンサー

原理的には同じ方法で解けます。
ただu(t)を使わなくとも済む点が気になります。
旧式な方法でなく参考URLを勉強してみてください。

右の図の場合、粘性率と弾性率を上からE1,η1,E2,η2と置くと

G(s)= (1-1/β)/β + (α-1/η2)/(βs)
ここに
α = E1E2(η1+η2)/{η1η2(E1+E2)}
β = E1E2/(E1+E2)
です。

Q運動方程式を求めてください

図のような系の運動方程式を求めてください。
(ばね定数k、粘性減衰定数をcとする。)

よろしくお願いします。

ダンパとねじの接合部の変位を考えて(仮にYとおく)、のちにYを消去して運動方程式を出そうとしたんですが、うまくいきません。

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となるので積分すると

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これで y を消してやれば x だけの微分方程式が得られると思います。


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