まだ以前にした質問を締め切っていなくて申し訳ないのですが、新しい疑問が沸いてきたので、お世話になりに来ました。
 剛体中の或る1点の自由度が3、第1点から離れた第2の点は第1点を中心とする球面上にあるので自由度は2、そこから更に第3の点を考えると、第1・第2の点を結ぶ直線を軸とする円周上にあるので自由度は1である。
 っと、ここまではいいのですが、「故に剛体の自由度は6である。」というのが理解できません。確かに第3点は自由度が6ですが、剛体全体ではやはり自由度は3のような気がします。
 自分でも、もしも剛体の自由度が3ならば剛体ではなく質点として見られるのでオカシイとは思うのですが、やはり自由度が6というのは納得できません。
 どなたか上の問題に対して、より解析的な回答あるいは、直観的な回答をお持ちの方は、よろしくお願い致します。

A 回答 (1件)

直観的な言い方しか出来ないので御質問にある定義を例をあげて考えてみましょう。


例えばコマを例に考えます。第1点を床に接する点と考えるとこの点の自由度は質点と同じく3になります。この点の座標を(x,y,z)とします。(床は任意の位置に設定できるとします)次にコマの軸の方向を決めるのに2つの自由度があります。これは球面上の位置を決めるのと同様緯度、経度と考えるとφ、θの2つのパラメータとします。最後にコマは軸を中心に回転しますから、コマの回転角を別に決めることができます。この角度をψとしましょう。
以上から、コマの位置を決めるのに、x,y,z,φ,θ,ψの6ヶのパラメータが必要なことがわかります。したがって自由度6になるのです。もし自由度3なら例えばx,y,zの3つしか決まりませんから、その他の軸方向、回転量が決められないことになります。
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この回答へのお礼

早速の回答どうもありがとうございます。私は剛体の位置だけを考えていたから自由度が3だという風に考えていたようですね。確かに剛体の状態を考えれば、自由度は6ですよね。どうもありがとうございました。

お礼日時:2001/04/06 08:29

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Aベストアンサー

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Σ(i){rqi-×Fi}  rqiはQからiへのベクトル
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Aベストアンサー

座標の設定の指示があるようですので,
系の重心の座標を下向きにx,棒の角変位を右回りにθとします。
以下「'」で時間微分を表示します。また,小文字はまぎれるので長さはLとします。

L = 1/2・2mx'^2 + 1/2・Iθ'^2 - 1/2・k(x-3Lθ/4)^2 - 1/2・k(x+Lθ/4)^2

ここで,系の慣性モーメントは,I = 5mL^2/24。
また,重力による位置エネルギーの項は,つりあい位置をx,θの座標原点にとることでキャンセルされることはご存知のことと思います。

運動方程式をつくると,
x'' = -ω0^2(x-Lθ/4)
θ'' = 12/(5L) ω0^2(x-5Lθ/4)
ただし,ω0 = √(k/m)

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x = x0 e^(iωt),θ = θ0 e^(iωt)
とおくと,x0とθ0の方程式を2つ得ます。x0/θ0の比が矛盾しないための条件からω^2に関する2次方程式を解けば,
ω = √{ 2±√(8/5) }・ω0
を得ます。

シミュレーションはω0=10の設定で,ほぼ理論どおりの周期になっています。

https://www.youtube.com/watch?v=AMGYjTeBpg4

座標の設定の指示があるようですので,
系の重心の座標を下向きにx,棒の角変位を右回りにθとします。
以下「'」で時間微分を表示します。また,小文字はまぎれるので長さはLとします。

L = 1/2・2mx'^2 + 1/2・Iθ'^2 - 1/2・k(x-3Lθ/4)^2 - 1/2・k(x+Lθ/4)^2

ここで,系の慣性モーメントは,I = 5mL^2/24。
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Aベストアンサー

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの3方向のうちいずれかの方向に一斉に動く運動というものが考えられますが、これは並進運動と呼ばれるものです。
分子によって特定の方向の並進運動ができないということはありません。
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したがって、回答としては、
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となります。

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
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他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
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Q剛体で支持された質点の振り子

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dθ / dt = (1 / R) v
dv / dt = -g sinθ

と書ける。ここで、

v = φ √(R・g)
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とおいて、上の運動方程式を変数 φ 、変数 θ を従属変数、τ を独立変数とする方程式に書き直せ。ただし重力加速度を g とする。」

という問題があるのですが、なかなかうまく φ と θ の式にすることができませんので、よろしくお願いします・・・・。

また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか?

Aベストアンサー

こんにちは。
単にv、tを消去すればよいと思いますが。

dθ / dt = (1 / R) v  ・・・(あ)
dv / dt = -g sinθ  ・・・(い)
v = φ √(R・g) ・・・(う)
t = τ √ (R / g) ・・・(え)

(あ)と(う)より
dθ / dt = (φ / R) √(R・g)
つまり、
dθ / dt = φ・√(g/R) ・・・(か)

(う)より、
dv/dt = dφ/dt √(R・g)
これを(い)に代入すれば
dφ/dt √(R・g) = -g sinθ
つまり、
dφ/dt = √(g/R)・sinθ ・・・(き)

(え)より、
t = τ √ (R / g) ・・・(え)
dt = dτ・√ (R/g) ・・・(く)

(か)と(く)より、
dθ/dτ・√ (g/R) = φ・√(g/R)
つまり、
dθ/dτ = φ ・・・(さ)

(き)と(く)より
dφ/dt・√ (g/R) = √(g/R)・sinθ
dφ/dt = sinθ ・・・(し)


書き直した方程式とは、(さ)と(し)です。



>>>
また、このような条件の場合には sinθ ≒ θ として計算してもよかったでしょうか?

問題文で「sinθ ≒ θ としてよい」との指示があればOKですけれども、そうでなければ、勝手に sinθ ≒ θ としてはいけません。

こんにちは。
単にv、tを消去すればよいと思いますが。

dθ / dt = (1 / R) v  ・・・(あ)
dv / dt = -g sinθ  ・・・(い)
v = φ √(R・g) ・・・(う)
t = τ √ (R / g) ・・・(え)

(あ)と(う)より
dθ / dt = (φ / R) √(R・g)
つまり、
dθ / dt = φ・√(g/R) ・・・(か)

(う)より、
dv/dt = dφ/dt √(R・g)
これを(い)に代入すれば
dφ/dt √(R・g) = -g sinθ
つまり、
dφ/dt = √(g/R)・sinθ ・・・(き)

(え)より、
t = τ √ (R / g) ・・・(え)
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Q剛体における力の合成と作用点

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しかし、解答では「作用線は直線x=14/3上」とあるのですが、作用線の求め方がわかりません。
教科書を見てもいまいちピンと来ません・・・ご回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

やるべきことは、
3つの力
{F1=(4,0),A=(0,0)}, {F2=(0,3), B=(2,0)}, {F3=(-4,0), C=(2,2)}
を1つにまとめる、ということです(なお、便宜上、
個人的ポリシーには反しますが、単位をすべて略して書いています)。
まとめる際の条件として
* 力ベクトルそのものの合計が変わってはいけない
* 力のモーメント(トルク)の合計も変わってはいけない
という2つの条件をみたすようにします。

最初の条件については F1 + F2 + F3 = (0,3) でOKですね。

2番目の条件を考えるために、
まず、それぞれの力のモーメントを求め、それを3つぜんぶ足してください。
そしたら何か見えてくると思います。


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