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行列で対角化可能の時の条件を教えて下さい。
問題で固有値、固有ベクトル、対角化可能の場合は対角化する正則行列を求めよ、とあります。
3×3行列で固有値が3つ、全て異なる場合は対角化可能。
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
では、固有値が2つの場合は対角化可能と不可の場合がありますが、これはどのようにして見分けるのでしょうか?
例えば

   -3 -2 -2
B=[ 2  1  2  ]
    2  2  1

 の時、固有値は1、-1(重解)ですが対角化可能です。なぜでしょうか?宜しくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (2件)

きりがないので前後の文脈から書き間違いを訂正してください。



3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。
相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な「固有ベクトル」を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
独立な固有値の数を調べてみたら、うまくいきました。
遅くなりましたが有難うございました。

お礼日時:2003/07/21 15:06

3×3行列が正則行列で対角化可能であるための必要十分条件は「3つの独立な固有ベクトルを持つこと」です。


相異なる3つの固有値を持てば3つの独立な固有値を持つので対角化可能です。

2つの相異なる固有値しか持たない場合の例:
000
010
001
は対角化可能であり
000
011
001
は対角化不可能である。
1つの固有値しか持たない場合:
100
010
001
は対角化可能であり
110
010
001
は対角化不可能である。


従って
固有値が1つ(3重解)の場合は対角化不可。
はうそです。
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