バネの固有振動数を求める問題が分かりません。

バネの固有振動数を求める問題が分かりません。

下の図の(a)～(d)に示す系の固有振動数を求める問題が分かりません。ばね

x=Ae^jωtと置いて計算していき

(a)は多分
ω＝√(k1/m)
となり
f=1/2π・√(k1/m)
になりました。

(b)も同様に
ω＝√{k1k2/m(k1+k2)}
となり
f=1/2π・√{k1k2/m(k1+k2)}

(c)(d)が分かりません。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2010/07/22 13:45

運動方程式が

m d^2x/dt^2 = -k' x

であるとき、固有角振動数はω= √[k'/m]。

(a)はそのままk'=k1なので、ω= √[k1/m]。

(b)は合成系のバネ定数k'を求めるために、つりあいを考える。
両方のバネに同じ力mgがかかるので、それぞれのバネの伸びをx1, x2とすると

mg = k1*x1 = k2*x2　から　x1=mg/k1, x2=mg/k2

重りの移動距離はx=x1+x2 = (1/k1+1/k2)mg=[(k1+k2)/k1k2]mg
連結したバネ全体のバネ定数をk'とすると、

mg = k'x = k' [(k1+k2)/k1k2]mg ∴　k' = k1*k2/(k1+k2)

固有角振動数は

ω＝√(k'/m) = √[k1*k2/m(k1+k2)]

(c)は、それぞれのバネの自然長をl1,l2, 天井と床の距離をdとすると、天井を原点にして下向きにx座標を取ることにすると、バネから重りにかかる力は

-k1(x-l1) + k2(d-x-l2) = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d

なので、運動方程式は

md^2x/dt^2 = -(k1+k2)x - k1*l1 - k2*l2 + k2*d +mg = -(k1+k2)(x + A)　(Aは定数)

Aが定数なのでx -> x'=x+Aという変数変換で

md^2x'/dt^2 = -(k1+k2)x'

となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]

(d)もそれぞれの自然長をl1,l2として天井を原点に取り下向きにx軸を取るとバネの力は

-k1(x-l1)-k2(x-l2)

なので、運動方程式は

md^2x/dt^2 = -k1(x-l1)-k2(x-l2) + mg = -(k1+k2)x + k1l2+k2l2 +mg = -(k1+k2)(x + B)　(Bは定数)

おなじくx''=x+Bの変数変換で

md^2x''/dt^2 = -(k1+k2)x''

となるので、やはり、角振動数はω= √[(k1+k2)/m]

No.3 回答者： noname#117520 回答日時： 2010/07/22 00:55

ちなみに

bはむずいですね。

黒丸に対して質量がないので0×d^2x1/dt^2=-k1x1-k2(x1-x2)・・(1)
マスに対して、md^2x2/dt^2=-k2(x2-x1)・・(2)

(1)よりx1={k2/(k1+k2)}×x2

これを(2)に代入して

md^2x2/dt^2=-k1k2/(k1+k2)x2

より解は、

x2=Ae^j(√{k1k2/m(k1+k2)})tですね。

No.2 回答者： noname#117520 回答日時： 2010/07/22 00:35

運動方程式、間違えました。

c,d両方とも
ω=√{(k1+k2)/m}ですね。

No.1 回答者： noname#117520 回答日時： 2010/07/22 00:29

運動方程式を立てなさい。

最初のx=Ae^jωtは運動方程式の解でしょう。

cはm×d^2x2/dt^2=-k1x+k2x=(k2-k1)x

ですので、解は
x=Ae^j(√{(k1-k2)/m})t

でω=√{k1-k2/m}

同様に
dは

ω=√{(k1+k2)/m}

でしょう。
院試の勉強ですか？