教えて!gooグレードポイントがdポイントに!

フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明したい。

∫[0~∞]((usin(xu))/(1+u^2))du=(π/2e^x)
(x>0)

わかる方がいました参考にさせて頂きたいです。
よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

#1でお答えしたものです。

申し訳ございません,ミスをしてしまいました。(π/2) exp(-x) は奇関数ではありません…
改めて解答を作ってみましたが,複雑だったので,ほかの方(または自分も考え直して)のスマートなご解答をご参考になさってください。
一応,私の解答を次のページにUpload致します。必要あれば(画像をクリックして)ご覧になってください:
http://blog.goo.ne.jp/gotouikusa/e/503bd77e60861 …
添付したのは,その概略です。
「フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明し」の回答画像2
    • good
    • 2
この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/24 18:27

具体的にどのような式をもちいてよいのか書いてないでの、適当に解釈します。



参考URLに同じ問題がありますのでそれを参考に。

以下は証明の概略です。

f(x)=π/2e^x.

参考URLのフーリエ正弦変換を用います。
(用いてよい条件満たしていることを確認してください。)
F_s=Fと略記.

フーリエ正弦変換
F(u)=int[0,∞]f(x)sin(ux)dx.
問題の右辺=f(x)=2/π×int[0,∞]F(u)sin(ux)du.

2/π×F(u)=u/(u^2+1)、を示せばよいことがわかります。

2/π×F(u)
=π/2×int[0,∞]f(x)sin(ux)dx
=int[0,∞]e^{-x}sin(ux)dx.

最後の積分をIとする(高校数学でできますが一応計算します).
二回部分積分します。
I
=int[0,∞]ue^{-x]cos(ux)dx
=u-u^2I.
I=u/(u^2+1).

この積分値を求めるには、複素積分の留数定理を用いる方法もあります。

参考URL:http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/di …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/24 18:27

ご参考になさってください。

「フーリエ積分公式を用いて次の等式を証明し」の回答画像1
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

教えて!goo グレード