至急です!S(S^2+2)/(S^2+1)(S^2+3)の部分分数分解のやりかたおしえてください!

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A 回答 (2件)

「S/2」で括れば分子は分母の和になっていますので暗算でも部分分数展開できますね。



S(S^2+2)/((S^2+1)(S^2+3))
=(S/2){1/(S^2+1) + 1/(S^2+3)}
=(1/2){S/(S^2+1) + S/(S^2+3)}
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S(S^2+2)/(S^2+1)(S^2+3)=(aS+b)/(S^2+1)+(cS+d)/(S^2+3).



S^3,a+b=1.
S^2,b+d=0.
S,3a+b=2.
1,3b+d=0.

a=c=1/2.
b=d=0.
    • good
    • 0

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Q部分分数分解について

有理関数の原始関数を求める(積分する)ときに、その有理関数を部分分数分解するケースがあると思います。

この部分分数分解はある程度センスでやるものですか?

部分分数に分解する手順等があれば教えてほしいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>この部分分数分解はある程度センスでやるものですか?

すばやくやろうと思うと、前もって数式を見るセンスはあった方が有利ですが、
それなりの原則はあって、それにしたがって練習していけば、センス自体も
だんだん身についてくる、程度のものでもあります。

一番、簡単なケース、分母が、2次式で、1次式の積に因数分解できるような場合は、
A/一次式1 + B/一次式2 = (A*一次式2 + B*一次式1)/2次式 で、
分子が元の式の分子に一致するように、A,Bを決めるのが、基本のやり方。

センスを身に付けたいなら^^、まずは、1/一次式1 ± 1/一次式2 を計算してみて、
どちらかの分子が元の分子と似た形、大抵は定数倍とかになるので、2倍になってたら
全体を半分する、とか、そういう方向から考えて、それでうまくいかない場合には、
上の方法で、連立方程式を解く、などとやっていくようにすると、簡単な場合は、
一目で見えるようになるので、長い目でみると、時間の節約になるかと。

元の分母が3次式で、1次式と2次式の積に因数分解できるときなら、
A/一次式 + (Bx+C)/二次式 のような形で考えます。

勿論、どの場合でも、分子の次数≧分母の次数のときは、帯分数化というか、
普通の多項式になる部分は、別にして、分子の次数<分母の次数にしておかないと
いけません。

また、分子が、分母を微分した形の定数倍を含むとき、
たとえば、(4x+5)/(x^2+x+1)なら、
(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
となり、前半は、簡単に2*log(x^2+x+1) と積分できるので、
こういうところも分けておくと、後がやりやすくなります。

センス、というか、色々、総合的な知識が問われるようなケースとしては、
(x^2+1)/(x^4+1) のような場合、分母が、
x^4+1 = x^4+2x^2+1-2x^2 = (x^2+1)^2 - (√2*x)^2 = (x^2-√2*x+1)(x^2+√2*x+1)
と因数分解できることに気づかないと、永遠に固まったままになってしまいます。

1/(x^2-√2*x+1) + 1/(x^2+√2*x+1) = (2x^2+2)/(x^4+1) なので、元の式は、左辺の半分、

もうひとつは、部分分数分解しても、一つ一つの分数式が積分できないと意味がない訳ですが、
上の2例のようなパターンの場合、たとえば、x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4 ならば、
x + 1/2 = (√3/2)tanθのような置換で、積分することができます。

質問者さんが高校生だとしたら、このあたりまで必要になるのは、相当の難関大学の入試だと思いますが。

>この部分分数分解はある程度センスでやるものですか?

すばやくやろうと思うと、前もって数式を見るセンスはあった方が有利ですが、
それなりの原則はあって、それにしたがって練習していけば、センス自体も
だんだん身についてくる、程度のものでもあります。

一番、簡単なケース、分母が、2次式で、1次式の積に因数分解できるような場合は、
A/一次式1 + B/一次式2 = (A*一次式2 + B*一次式1)/2次式 で、
分子が元の式の分子に一致するように、A,Bを決めるのが、基本のやり方。

センスを身に付けた...続きを読む

Q(x^4-2x^3-4x^2+13x-2)/(x-1)^5の部分分数分

(x^4-2x^3-4x^2+13x-2)/(x-1)^5の部分分数分解

取りあえず、A/(x-1)+(Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F)/(x-1)^5
で考えてみます。

中略

A+B=1
C-4A=-2
6A+D=-4
E-4A=13
A+F=-2

と、任意のAが決まれば残りの変数がきまる形です…ココから意味が不明ですが。

強引に解いてみると、
-1/(x-1)+(2x^4-6x^3+2x^2+9x-1)/(x-1)^5になりました。
検算すると合っている気もしますがどうなのでしょう?

すいませんがお知恵をください。
出題では単に部分分数分解しろとしかありません。

Aベストアンサー

回答者の展開式は部分分数展開式とは言えません。
なので計算しても意味なし。
以下のようにやり直してください。

部分分数展開は
(x^4-2x^3-4x^2+13x-2)/(x-1)^5
=A/(x-1) +B/(x-1)^2 +C/(x-1)^3 +D/(x-1)^4 +E/(x-1)^5 …(●)
と置いて、両辺に(x-1)^5をかけた式が恒等式になることから
A,B,C,D,Eの間の関係式を出して連立方程式として解いて
A,B,C,D,Eを求めれば良い。
(●)に代入すれば部分分数展開式になる。

(参考)正しく計算できればA=1,B=2,C=-4,D=3,E=6となるはず。

Q積分 部分分数分解

積分 部分分数分解

積分 部分分数分解

∫[0~1](3x-1)/((x+1)(x^2+1))dxを求めよ。

回答を読んでも理解できないので教えて下さい。

添付画像の2段目の2x+1/(x^2+1)=(x/(x^2+1))+(1/(x^2+1))
が理解できません・・・
回答が間違っているのでしょうか?

昨日部分分数分解で質問させていただきましたので、そちらのURLも載せておきます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5809154.html

Aベストアンサー

じ~っと見ればわかりますが,
2x+1/(x^2+1)=(x/(x^2+1))+(1/(x^2+1))
とはしていません.
でも, なんで 2 を出しちゃうかなぁ.

Q(log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + …の収束・発散

1/1^s + 1/2^s + … + 1/n^s + …
においては、
s>1のとき収束
s≦1のとき発散

だと思いますが、
(log 1)^s + (log 2)^s + … + (log n)^s + …
においては、どうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

負のsに対しての問題の級数ですが(n>1としておきます)結論から言えばすべてのsに対して発散します。a>0を小さい数として固定しnが十分大きいときlog(n) << n^a が成り立つのでa<1/sとすれば級数はΣn^{-1}よりも大きく発散してしまいます。

Q部分分数分解について

部分分数分解について

1/(s^2(s+1))を部分分数分解すると、1/(s+1)-1/s+1/s^2になるのですが、どうすれば分解できるのかがわかりません。
A(S+1)+BS^2=1までいったのですが、そのまま展開しても上記の式にはなりません。。。

Aベストアンサー

部分分数分解というのは

1 / ( s^2 ( s + 1 ) ) の場合だと

A/(s + 1) + B / s + C / s^2 の形にしてやる!!

って所から始めます

A/(s + 1) + B / s + C / s^2

= {(A + B) s^2 + (B + C )s +c} / ( s + 1) s^2

ですので、元の式と比較し

A + B = 0
B + C = 0
C = 1

の連立方程式を解くと、A = 1、B = -1、C = 1 となり、

部分分数分解すると

1 / (s + 1) - 1 / s + 1 / s^2

となります

> A(S+1)+BS^2=1までいったのですが、

それ、どこから出て来たの?

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Q1/(ax^n+b) を部分分数分解

1/(ax^n+b) を部分分数分解するにはどうしたらよいでしょうか。

Aベストアンサー

結論から言えば、1/(ax^n+b) = Σ(-λ/bn)/(x-λ).

ただし、この Σ は、λ が (-b/a) の各 n 乗根を渡る総和を表す。

ax^n+b=0 の根は、複素範囲で n 個の単根だから、

問題の部分分数分解は、1/(ax^n+b) = Σ(定数)/(x-λ) と表される。

λ の値のひとつを λ_0 とし、上式の両辺に x-λ_0 を掛けてから

x→λ_0 の極限をとると、(定数) の値が判る。

Qa^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。
(ただし,a>0,b>0,c>0)これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。
いろいろ考えましたが、良い考えがでません。
添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>a^3+b^3+c^3≦3が示された

反例
(√5/2)^2+(√5/2)^2+(√2/2)^2=3
(√5/2)^3+(√5/2)^3+(√2/2)^3>3

Q部分分数分解

部分分数分解

添付画像の方法で部分分数分解をしようと考えています。

∫(3x-1)/((x+1)(x^2+1))dxにおいて、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))として
係数を求めたいのですが・・・どのようにすれば解けるでしょうか?

a=(3x-1)/(x^2+1)|(x=-1)=-2
bを求める事ができません・・・


どのようにすれば良いのでしょうか?

Aベストアンサー

そもそも
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))
とした場合右辺を通分するとx^2の項の行き場がなくなってしまいます。
部分分数分解の場合それぞれの項において分母と分子の次数の差を揃えてやると
うまくいったような記憶があります。
つまり、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+((bx+c)/(x^2+1))
ということです。
まじめに通分して両辺の分子で係数比較をすればa,b,cは求まると思います。

以上、参考になれば幸いです。

Q2^1+2^2+2^3+・・・+2^n

過去の質問によく似たものがあったのですが
内容を読んでもわかりませんでした

2^1+2^2+2^3+・・・+2^nは
どうして2*(2^n-1)になるのでしょうか?

教えて下さい!

Aベストアンサー

単に公式を使うだけなのですが...。

まず、教科書か参考書で、等比数列の和の公式を見てください。(教科書なら証明が載っているでしょう)

初項がa、公比rの等比数列の初項から第n項までの和は、
 a(1-r^n)/(1-r)
となります。

ご質問の場合、初項a=2、公比r=2の等比数列の初項から第n項までの和なので、
 2*(1-2^n)/(1-2) = 2*(2^n-1)
となります。

なお、上記の公式が「なぜ?」という疑問であれば、教科書等の証明を見るのが一番です。


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