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¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるときのmの範囲として正しいものは,次のうちどれか?£

¢[解説] 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0。この2次方程式が、異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。これより、m(3m-4)<0 ゆえに0<m<4/3£

「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」が理解できません。説明をお願いします。

A 回答 (4件)

#1です。



判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0ならば、実数解は 1つ(重解)
・0より小さければ、実数解はなし

となって、b^2- 4acが「判別式」と呼ばれます。

「完全平方」を使って「解の公式」が導き出せれば、判別式も導き出せます。^^


点と直線の距離を使う方法もありますが、共有点を持つという条件からは同じです。
この解法も場合によっては簡単になる場合もあるので、押さえておいた方がいいですね。^^
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この回答へのお礼

押さえておきます、ありがとうございました

お礼日時:2010/07/26 18:43

円と直線が交点をもつ条件を求める問題は、座標の問題の基本だろう。


連立して、xの2次方程式を考えて、その方程式が実数解を持つ条件として考えるのは基本だが、往々にして計算が面倒な場合が多いし、それがミスの原因になる。
従って、その方法が基本ではあるが、計算のミスを防ぐ意味からも よりsimpleな方法を考える。

点と直線との距離の公式 は教科書で習っているだろう。それを使おう。

y=mx と 円(x-2)^2+(y-1)^2=1の中心(2、1)との距離が 円の半径の1より小さいと良い。
よって、点と直線との距離の公式を使って、|2m-1|/√(m^2+1)<1.
両辺が非負から2乗すると 3m^2-4m<0となり、解に一致する。


異なる2点 とは書いてないから、等号を付けても良いように思うんだが。。。。。w
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この回答へのお礼

「基本」「学校で習った」ことなどはほぼ完全に忘れている^_^;
ありがとう。

お礼日時:2010/07/26 18:34

2次方程式


  ax^2+bx+c = 0
の判別式Dは
  D = b^2-4ac
と定義されます。

またxの係数が偶数の時、すなわち、
  ax^2+2b'x+c = 0
については
  D = (2b')^2-4ac = 4b'^2-4ac = 4(b'^2-ac)
  D/4 = b'^2-ac
を用いて判別式D'を
  D' = D/4
と定義することもあります。


2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式Dが
  D > 0
となることです。
また、同じ事ですが判別式D'が
  D' = D/4 >0
となることでもあります。


いま2次方程式:(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0を考えているので、
  D' = D/4 = (-(2+m))^2-(1+m^2)*4 = (2+m)^2-4(1+m^2)
となります。
先ほども書いたように、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0が異なる2つの実数解を持つ条件はD'>0となることですから
  D' = D/4 = (2+m)^2-4(1+m^2) > 0
  D/4 = (2+m)^2-4(1+m^2) > 0
であれば、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0が異なる2つの実数解を持ちます。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。多分、理解できました。^_^;

お礼日時:2010/07/26 18:29

こんにちわ。




>「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」
のどのあたりが理解できないということですか?
・Dではなく、D/4を計算しているところですか?
・異なる2つの実数解を持つ⇒ D/4> 0というところですか?

単純に「言い回し」だけの話であれば、
判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0と「なればよい。(であればよい。)」

とでも言い換えた方がいいとは思います。
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この回答へのお礼

判別式そのものがわかりませんでした。手元に高校の教科書がないのです。

お礼日時:2010/07/25 18:56

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