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ニュートン法について

3次方程式x^3-30x^2+200x=0は0,10,20を根とする。
このことを使って、ニュートン法を1回用いることにより、x^3-30x^2+200x+1=0の根で10に近いものの近似値を求めよ。
ちなみにニュートン法は「aがf(a)=0の根に十分近ければ、a-f(a)/f’(a)は更に精密な近似値となる」です。
数学に詳しい方に答えていただけると幸いです。
宜しくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

質問文の中にやるべきことは書かれています。


何故ご自分でやられないのですか。

#1、#2の回答は質問文の中の式を使って計算しているだけです。
これだけであれば「自分でやるのが面倒だから代わりにやってくれ」という内容になります。
ニュートン法についての質問ではありません。

ニュートン法が分からないのであればそういうことが分かるような質問文でないとおかしいです。

図を書いてみましたか。
y1=x^3-30x^2+200x=x(x-10)(x-20)
y2=x^3-30x^2+200x+1
y1を上に1ずらしたものがy2です。
y2=0の解はy1=0の解から少しずれます。
x1=0-α1
x2=10+α2
x3=20-α3
少しずれるのを接線を引いて評価してみようという問題です。

私はこれを繰り返すと解が求められるというのをニュートン法だと思っています。
接線を一回引くというだけであれば「ニュートン法」とたいそうに呼ぶほどのものではありません。誰でも考える近似法なのです。
excelでやってみられると分かりますがニュートン法はかなり収束の速い近似法です。
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
ニュートン法自体が分かりませんでした。
ご説明いただいたので、接線による近似方だというのは理解できました。
根というのは解と同意なのでしょうか?

お礼日時:2010/07/26 15:28

前提を信じれば、


 p(x) = x^3-30x^2+200x+1 = (x-10)*q(x) + 1   …(1)
 q(x) = x(x-20)
と書けるはずなので、
 p'(x) = q(x) + (x-10)*q'(x)   …(2)

(1) → p(10) = 1
(2) → p'(10) = q(10) = -100
10に近い近似値: 10 - p(10)/q(10) = 10 + 1/100
  
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この回答へのお礼

ご解答ありがとうございます。
参考にさせていただきます!

お礼日時:2010/07/26 16:03

f(x) = x? - 30 x? + 200 x + 1


とします.
f'(x) = 3 x? - 60 x + 200
ですね.よって,
ξ= 10 - f(10)/f'(10) = 1001/100
ちなみに
f(ξ) = 1/1000000
になります.
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この回答へのお礼

ニュートン法の意味がさっぱりわからなくて何をどうしていいか分かりませんでした。
ご解答ありがとうございました!

お礼日時:2010/07/26 16:01

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