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軌跡と領域

軌跡
条件を満たす点Pの軌跡が図形のF上であることを示すには、次の2つのことを証明する。
1条件を満たす任意の点Pは、図形のF上にある。
2図形のF上の任意の点Pは、その条件を満たす。


教えてほしいところ
1番だけ証明すればいいような気がしてならないんですが、なぜ2番も証明する必要があるんでしょうか??

論理的に教えて下さい

A 回答 (12件中1~10件)

#11です。



人間が古いので、ネタも古くなってしまって申し訳ないのですが。^^;

質問者さんの書かれていた「図形F」に関する記述は、教科書にきちっと書かれていますね。(数研出版の古い教科書にて)
そこには、補足するような形で以下のような記述もありました。
「2については、1の計算を逆にたどることによって、その成り立つことが明らかな場合、2の証明を省略することがある。」

軌跡に関しては、この内容に従うべきだと思います。
単に満たす式(方程式)だけでは、ほんとに軌跡となる図形ではないからです。
(通らない点まで含まれてしまう。)


また、軌跡と軌跡の方程式についてですが、
「大学への数学」(の古い本)において以下の記述がありました。
------------------------------
軌跡と、軌跡の方程式
問題が「軌跡を求めよ」という要求なら、軌跡の限界を考慮しなければならないが、「軌跡の方程式を求めよ」という要求ならば、その必要はなく、必要条件によって、単に方程式を求めるだけでよい、というのが慣習である。
------------------------------

「軌跡の限界」というのが、先の定義域・値域といっていた内容に当たりますね。

軌跡であっても、軌跡の方程式であっても、「軌跡の限界」は考慮した方がよいと思います。
(軌跡の方程式と書かれていて、軌跡の限界を考慮しても減点にはならないかと。)
設問にもよりますが、「図示せよ」となっていれば、必然的に軌跡の限界は考慮することになりますよね。
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例えば、点 A(1,0) と B(-1,0) が与えらていて、


∠APB = 90°であるような点 P の「軌跡の方程式を求めよ」
と言われた場合、以下のうちのどれを答えますか?

(a) x^2 + y^2 = 1 ただし y≠0
(b) x^2 + y^2 = 1
(c) (x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 4) = 0

特に、(b) と (c) がどう違うのかをよく考えると、
(b) ではなくて (a) が正解となる理由が見えてくると思います。
「方程式を求めよ」だから「式」を書く、十分性は確認不要…
という基準では、相当とんでもない物も答えになってしまう事が。
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#1です。



いろいろと意見が飛び交っていたようですが、質問者さんはどう考えられていますか?
少し混乱されているもかもしれませんね。^^;

途中から「軌跡」と「軌跡の方程式」の話になってますね。
#5さんが言われている中で、
・「軌跡の方程式」というのは、点Pの座標 (x, y)について「その xと yが満たしている式」という意味
・そして、「軌跡」というのは、上の方程式に加えて「定義域・値域もふまえたもの」という意味

になると解釈しました。

このように書きならべてみると、
「軌跡の方程式」とは、「単に」 xと yが満たしている式のことだから、定義域・値域は別に考えなくてもいいんですよね。
ってことが見えてくるように思います。

ただ、
「軌跡の方程式も定義域・値域をきちんと考えないといけない」
と考えていると、違ってきますよね。
これが #6さんの解釈だと思います。
わたしもこちらの方が「無難」だと思います。


もともとの質問では「図形」となっていますが、これは「軌跡」になると思います。
(定義域・値域という「範囲」も含めて、その形が決まるから)
ですので、「2図形のF上の任意の点Pは、その条件を満たす。」の証明も必要になると思います。
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スレッドが、この手の荒れかたをすると、


バッサリ削除される可能性がある。
それ以前に、質問者が混乱するだろう。
今回の争点は、いわゆる「軌跡の問題」では
非常に重要なポイントだから、
身近で、学校か塾の先生に質問して、
どちらが正解か、ちゃんと理解しておくべき。
曖昧にしておくと、後で泣くよ。
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世間と異なる独自の解釈をするのは勝手だが、


質問者を巻き込んで迷惑をかけるのは、
どうかと思う。
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NO 5



の回答は正しいと思います!

楕円の式が出たときは、一般的な文系生は、2はできないと思います。


なので、軌跡の方程式を求めよ と云う問題がでたら、条件を作り 式が出た瞬間にそれが答えなのでは?

もちろん軌跡を求めよ なら 1・2 両方必要になります。

理由。
1だけでは、必要条件になるから。
2で、初めて十分条件になります。
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No.5 の解釈は、試験などでは認められない。


質問者が高校生・受験生であれば、要注意。
痛い目に遭うよ。
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質問者も回答者も誤解している。



設問が「軌跡の方程式をもとめよ」という問題なら、「1」だけでよい。
しかし、設問が「軌跡を求めよ」という問題なら、「2」への配慮が必要。理由は簡単。
求める軌跡が、求めた軌跡の方程式の全ての図形上であるとは限らないから。
条件次第では、軌跡から除外される部分(または、点)がある場合がある。
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http://kotobank.jp/word/%E8%BB%8C%E8%B7%A1
『一定の条件を満足しながら動く点や線が描く図形。図形Fが条件Aを満たす軌跡であることを証明するには,1.Aを満たす任意の点はF上にある(必要条件),2.F上の任意の点はAを満たす(十分条件),の二つを証明しなければならない。※本文は出典元の用語解説の一部を掲載しています』

>>図形のF上
 「図形Fの上」というべきでは?
 「F上」という特殊な条件かと思いました。

>>条件を満たす点Pの軌跡が図形のF上である
 条件を満たす点Pの軌跡が図形Fである、の勘違いでは?
 「条件を満たす点Pの軌跡が図形Fの上である」ということなら、上記の(必要条件)だけを言っているにすぎません。
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#1です。



添付に失敗したようなの再度回答します。
(たいした図ではないので、恐縮ですが)
「軌跡と領域」の回答画像3
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