f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示せ。
解答
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能。
z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、
z≠0のときf(z)=x^2+y^2はコーシー・リーマンの方程式を満たさない。
…と載っているんですが、
lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
の、いきなりz~になるところが分かりません。
どうやってz~を導くのか教えて下さい。
それと、この場合、f(0)で極限値をもてば、
z=0において微分可能と呼べるんですよね?
lim[z->0] z~の極限値は0ということでいいですか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
上は f(0) = 0 だから単純に f(z) / z を計算するだけ. z = x + iy とでもおいてみればわかる.
下はちゃんと自分で示せばいい.
実は質問直後に閃きました:
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] {|z|^2-|0|^2}/z
= lim[z->0] {|z|^2}/z
= lim[z->0] {zz~}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能、ということですね。
回答してくださったz=x+iyとおいた場合も計算しておきます:
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/(x+iy)
= lim[z->0] {√(x^2+y^2)^2-√(0^2+0^2)^2}/(x+iy)
= lim[z->0] {x^2+y^2}/(x+iy)
= lim[z->0] (x+iy)(x-iy)/(x+iy)
= lim[z->0] (x-iy)
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能、ということですね。
下はz=0を代入するだけですから、極限値は0ですね。
(次に「正則ではない」の証明についての質問をしますので、そちらも宜しくお願いします)
ありがとうございました!
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