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位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか?

シローの定理が必要だとおもうのですが。。。

<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

A 回答 (1件)

位数45の群をG、Gの位数9の部分群をPとする。



><シローの定理>
>(4)シローp-部分群の個数は1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
がポイント

しかもシローp-部分群の個数は|G:P|だから、|G|=45
の約数である。

45の約数1,3,5,9,15,45のうち3で割ると1余るのは1のみである

したがってGのシロー9-部分群の個数は1個である。

Gから元kを任意にとる。
群kPk^(-1)を考えるとkPk^(-1)の位数は9である。
ところが、のシロー9-部分群は1個だからkPk^(-1)=P
でなければならない。

したがってPはGの正規部分群である。
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QPが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群である

Pが群Gのシローp-部分群であるとき Pが唯一のシローp-部分群であることと

PがGの正規部分群であることが同値であることを

シローの定理を使って示すにはどうすればいいのでしょうか?


<シローの定理>
(1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ
よってシローp-部分群は存在する

(2)H: Gのp-部分群とすれば
Hを含むシローp-部分群が存在する

(3)シローp-部分群は互いにG-共役

(4)シローp-部分群の個数は
1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)

Aベストアンサー

p-シロー群が正規部分群とは次の二つのことが成り立つ。

(1) Pは正規部分群 ⇔ xP = Px,∀x.
(2) P,Qがp-シロー群 ⇒ aP = Qa,∃a.

Q
= aPa^{-1} (2)より
= P (1)より

よってP=Q、つまり、ただ一つしかない。

p-シロー群がP一つしかないとき
⇒すべてのxに対してp-シロー群xPx^{-1}とPは共役。
⇒axPx^{-1} = Pa,∀x
⇒yPy^{-1} = P,∀y
(y = axと変形)
⇒Pは正規部分群

どうかな、てきとーなんで、ゆるしてね

Q位数12の群Gの問題なんですが・・・

Gを位数12の群G=<a,b>,a^^6=e,a^^3=b^^2=(ab)^^2とする。Gの元はG={e,a,a^^2,a^^3,a^^4,a^^5,b,ab,a^^2b,a^^3b,a^^4b,a^^5b}でありまた部分群N、Z、Kを次のようにおく。N=<a>,Z<a^^3>,K<b>とした時の
(1)剰余群G/N、G/Z、N/Zの乗積表を作れという問題なんですがいまいちわかりません。
(2)またN,Kの標準的準同型写像f:G→G/Z x:→xZによる像を求めよという問題なんですがよくわかりません。アドバイス頂ければありがたいです。よろしくお願い致します。(Gの乗積表は省略しました。)

Aベストアンサー

仕事終わり♪
NがGの正規部分群であれば、g,hをGの元として、
gN=hNとなるgやhを仲間と思って、代表にgを取ってgNと書きます。
Gの元は全部どこかに振り分けられて、どこかの仲間に入ります。で、
eN(単位元の入ってる仲間、Nと書いていいです),gN,...
という、仲間の集合が出来るわけです。それをG/N:={N,gN,aN,bN...}と
書きます。さてこの集合G/Nにとっては、N,gN,aN,bN,...というのは
元ですよね。これに演算をaN・bN=abNとしてやると、集合G/Nは群です。
単位元はNになってるし、任意の元の逆元もあるでしょ?
代表は適当にとっていいです。じゃ、G/Z、N/Zの元を書き上げて。
そしたら乗積表はできるよね。

(2)像の定義を見直せば解けると思います。書いとこうか?
像 Im(f)={f(x)|x in G} 
ちなみに、これはG/Zの部分集合だよ。

レポートかな試験かな。がんばってねー♪

Q位相(閉包の性質について) 初心者です。

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。」
がなぜなのかわかりません。

以前の質問にも同じ問題に対して質問されている方がいらっしゃり、その回答では、

「「x∈B ̄⇒(A∧A')∧B≠Φ 」で、つまり閉包の性質「x∈B ̄⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」であるからである。

となっていたのですが、
なぜなのかわかりません。
そもそもこの閉包の性質の意味が理解できません。
どなたか、詳しく教えていただけないでしょうか?

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄で...続きを読む

Aベストアンサー

>Bの閉包は、集合Bということではないのですか?
そういった疑問が湧いた場合は、まずは簡単な例をもって考察すると良い。

例えば開区間 U = { x ∈ R | -1 < x < 1 } を考えると良いだろう。
すると 1 ∈ R が U の閉包に含まれているか「確認」したくなりますね。

それが出来れば、元の問題を解くことも容易いだろう。

Q位数素数と部分群の数について

pを素数とし,Gを位数pの群とする.
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Gは位数pの群なので,GはZ/pZと同型になり,G×GはZ/pZ×Z/pZと同型になるので,Z/pZ×Z/pZの部分群の数を求めればいいと思うのですがそれが求められません.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成される
位数pの巡回群全体Tと一致します。

(**)この辺が位数が異なる素数である巡回群の直積と
  事情が異なります。p,qが相異なる素数の場合、
  (Z/pZ)×(Z/qZ)には位数pq, p, q (,1)の元が有ります

*特に(0,0)以外の元(x,y)は(p^2-1)個ありますが、
 これらは全てある位数pのG×Gの部分群に含まれます。
*一方V,W∈Tに対してV,Wに(0,0)以外の共通元
 (x,y)が有るとすると、<(x,y)>も位数pの
 巡回群であって、V=W.
 対偶をとって、V,Wが共に位数pのG×Gの部分群で、
 V≠WならばV,Wに共通元はありません。
 位数pのG×Gの部分群Vに含まれる、(0,0)以外の
 元の数は(p-1)個です。

よって、(0,0)以外の元(p^2-1)個は、
(p^2-1)/(p-1) = (p+1)個の 位数pの部分群たちに分類
されます。よって、位数がpであるG×Gの部分群は
p+1個です。

面倒臭いのでGをZ/pZの加法群と同一視します。

G×Gの位数はp^2なのでLagrangeの定理から
G×Gの部分群の位数は1かpかp^2ですが:

A 位数1の部分群は{(0,0)}の1つだけ
B 位数p^2の部分群はG×G自身です。

C で位数pの部分群ですが...

位数が素数であるからそのような部分群Uは
巡回群で、ある生成元(a,b)∈U⊂G×Gがあります。
一方、任意の(x,y)∈G×Gに対して
(x,y)≠(0,0)なら(x,y)の位数はpで(**)、<(x,y)>は
位数pの巡回群になります。
よって位数がpであるG×Gの部分群全体は
(0,0)以外のG×Gの元(x,y)によって生成...続きを読む


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