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論理式を加法標準形、乗法標準形に変形する問題なのですが、どうやってやればいいかよくわかりません。項をabcを使った式に直してから変形するみたいなのですが・・・。

・加法標準形に変形
f = ab + bc + ac

・乗法標準形に変形
f = (a + b)c

ご教授お願いします。

A 回答 (3件)

論理式の記号は色々ありますので質問者さんの場合の論理式をそのまま使わせて頂きます。


and(論理積):ab
論理和:a+b

f=ab+bc+ac
これはすでに加法標準形になっています。

f=(a+b)c
これも乗法標準形(の最簡形)になっています。

何をしたいのでしょうか?
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標準系ですね


記号を変えてもいいでしょうか
PQをP∧Q
P+QをP∨Q
それからPの否定を~P
恒真命題をI
恒偽命題をOで表します
あと同値は≡ですね

どうやって変えるかですが

まず一般に
P≡P∧I≡P∨O≡P∧P≡P∨Pで
P∨~P≡I,P∧P~≡O です
意味を考えればわかると思います

そして
例えばP∧QがP,Q,Rについての標準形にしたいなら
P∧Q
≡(P∧Q)∧I
≡(P∧Q)∧(R∨~R)
≡(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧~R)
とやって標準化できます

もしくは
P∧Q
≡(P∧Q)∨O
≡(P∧Q)∨(R∧~R)
≡(P∨R)∧(Q∨R)∧(P∨~R)∧(Q∨~R)
ここで
(P∨R)
≡(P∨R)∨O
≡(P∨R)∨(Q∧~Q)
≡(P∨Q∨R)∧(P∨~Q∨R)
となるので
同様な作業を(Q∨R),(P∨~R),(Q∨~R)の
すべてについて行えば
最終的に全体が∧で結べます

このテクを使いまわせば
問題も解けると思いますが
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こんばんは



ブール代数でいいのかな? 

加法標準形・乗法標準形とは どういう形を指す と言うのが 分かってあるのかどうか、

ここが最大の懸念です。

電気工学出身の代数屋なので、数学科では1年でやるんでしょうか?

書けばそれで終わりますが、後で苦労すると思うんですよね。

う~ん、○○標準形という形は、どういうものなのか。

これを書いてみてもらえませんか? やり方はフォローできますからね。

この辺はいいかな・・・。

ブール代数とします。
f(x、y、z)=xy∨yz=x¬yz∨xy¬z∨xyz (←加法標準形)

        =(x∨y∨z)(x∨y∨¬z)(x∨¬y∨¬z)(¬x∨y∨z)
           (乗法標準形)

真理値表作ったり、ドモルガンで持ってきたりして出せますよ。

一回ご自分で整理をされてくださいね。やっていますからね。m(_ _)m
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q:電子の電荷:=1.602e-19[c]
Id:順方向電流=1e-3[A]
Is:飽和電流=1e-14[A]
T:絶対温度

Aベストアンサー

 
 
 以下、Vd,Id の d は省略します、 (q*V/(k*T)) などは (qV/kT) と略記します、 温度Tは300Kとします。


>> トランジスタ設計の本や関連HPを見るとダイオードの特性は下記の式になっていますが、
Vd = ((K*T)/q)*ln(Id/Is)
<<


 ここはぜひ、その式の元の形である
  I = Is・exp(qV/kT) …(1)
の式で覚えてください。半導体の理論は根底が exp(エネルギ/熱エネルギ) という関数から出発してるので、この形で慣れておけば 将来ともお得です。
 で、
Is 自体も exp(-Eg/kT) 的な電流です。 Egはシリコンのバンドギャップエネルギ、kTは温度Tの熱エネルギです。 Is の成分の詳細説明は専門書にゆずるとして、大局的には
  Is = A・exp(-Eg/kT) …(2)
と書けます。
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  I = A・exp(-Eg/kT)・exp(qV/kT) …(3)
両辺をAで割って 両辺を対数取って V=の形にすると、
  V = (1/q){ kT・ln(I/A)+Eg } …(4)
あなたが載せたVdの式より 少し詳しく求まりました。


 さて、
温度係数の定義は 『Tだけが変化する』 です。そのとき I は(何らかの手段で)一定に保たれてるとします。すると(4)式はT以外すべて定数となるので単純に微分できて、
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これが疑問への答です。これに(3)式を入れると、
  ∂V/∂T = (1/T){ V-Eg/q } …(6)
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  温度係数=(順電圧-1.11 )÷温度 …(7)
  温度300k,順電圧 0.65V のとき、-1.5 mV/K ほど。
  温度300k,順電圧 0.51V のとき、-2 mV/K ほど。

変動は、電流が小さいほど(=順電圧が小さいほど)□□く、高温ほど□□いんですね。このように 使用温度、使用電流、品種、製造ロットによって変わるものなのだ、と覚えてください。



 余談;
詳しく言えば切りがないのですが、 Egそのものも温度Tの関数です。係数Aは回路シミュレータでは温度の3乗がよく使われます。SI単位系に慣れましょう。
それから、他人が書いた式を眺めてるだけでは自分の力が付きません、ぜひ式変形を自分の手で最後までやってみましょう。
 
 

 
 
 以下、Vd,Id の d は省略します、 (q*V/(k*T)) などは (qV/kT) と略記します、 温度Tは300Kとします。


>> トランジスタ設計の本や関連HPを見るとダイオードの特性は下記の式になっていますが、
Vd = ((K*T)/q)*ln(Id/Is)
<<


 ここはぜひ、その式の元の形である
  I = Is・exp(qV/kT) …(1)
の式で覚えてください。半導体の理論は根底が exp(エネルギ/熱エネルギ) という関数から出発してるので、この形で慣れておけば 将来ともお得です。
 で、
Is 自体も exp(-Eg/kT) 的な電流...続きを読む

Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q波数の意味と波数ベクトル

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m]の波の波数はk1=1/100[m]となり、これは「100m中に1個の波がある」という意味であり、λ2=2[m]の波の波数はk2=1/2[m]となり、「2m中に1個の波がある」という意味で、いずれもk<1なのはどれくらいの割合で波が1つあるのかという事を表してるのだと思っています。k2は2[m]中に1つの波があるので、仮にその波を100[m]にも渡って観察すれば、その中に50個も波が存在する。一方、k1は100[m]内に1個しか波が存在しない。よってk2の波の方が波の数が多い波である。以上が波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、合っているでしょうか?

また、(正否は分かりませんが)波数kを以上のように考えているのですが、波数ベクトルという概念の理解に行き詰まっています。個数であり、長さの逆数を取る量がベクトル量で向きを持つというイメージが掴めません。本にはkx、ky、kzと矢印だけはよく見かけるのですが、その矢印がどこを基準(始点)としてどこへ向いているのか(終点はどこなのか)が描かれていないので分かりません。波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか?一応、自分なりに描いてみたのですが下の図で合っているでしょうか?(1波長置きに存在するyz平面に平行な面に直交するベクトルです)

私の波数の考えが合っているか、波数ベクトルが図のようで合っているかどうか、波数ベクトルとは何かをどなたか教えて欲しいです。

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m...続きを読む

Aベストアンサー

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このとき、x方向の波数は1、y方向の波数も1、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、x方向とy方向の波数が違っていてもいいですよね(下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとx方向の波数は1、y方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長(λx,λy,λz)から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このと...続きを読む

Q10進数の14.5を浮動小数点(IEEE754形式)の2進数に変換するにはどうしたらよいでしょうか?

10進数の14.5を浮動小数点(IEEE754形式)の2進数に変換するにはどうしたらよいでしょうか?
10進数の-7.5を浮動小数点(IEEE754形式)の2進数に変換するにはどうしたらよいでしょうか?
計算方法を教えてください。

Aベストアンサー

14.5を符号と指数と仮数に分けます。
符号は正の数なので符号は0
次に14.5を符号無し2進数に変換すると
1110.1
小数点を左に移動させて1だけ残すと
1110.1=1.1101*2^3
仮数は23ビットで小数点より右側だけなので、足りない分を0でうめて
11010000000000000000000
指数の3を127でバイアスするので
3+127=130
これを2進数に直すと
10000010
全て合わせると、
01000001011010000000000000000000
で、32ビットの2進数に変換できました。
同じように、-7.5を変換すると、
符号は負の数なので1
-7.5を符号無し2進数に変換すると、
 111.1
=1.111*2^2
なので、仮数は
11100000000000000000000
指数の2を127でバイアスすると
2+127=129
これを2進数に直すと
10000001
全て合わせると
11000000111100000000000000000000
になります。
64ビットの場合は、指数のバイアスを127から1023にし、仮数の23ビットを52ビットまで増やせばOKです。

14.5を符号と指数と仮数に分けます。
符号は正の数なので符号は0
次に14.5を符号無し2進数に変換すると
1110.1
小数点を左に移動させて1だけ残すと
1110.1=1.1101*2^3
仮数は23ビットで小数点より右側だけなので、足りない分を0でうめて
11010000000000000000000
指数の3を127でバイアスするので
3+127=130
これを2進数に直すと
10000010
全て合わせると、
01000001011010000000000000000000
で、32ビットの2進数に変換できました。
同じように、-7.5を変換すると、
符号は負の数なので1
-7.5を...続きを読む

Q論理式の標準積和形

f(X,Y)=X+_X・Yを標準積和形にすると、真理値表を書くと XとYがそれぞれ0、1のとき、X_Yで、f(X,Y)が1 になるんでしょうか? 
回答は、_X・Y+X・_Y+X・_Y+X・Yになります。この式はX_Yのとき1になるという決まりですか? それとも、ベン図を描けば分かるものですか?

Aベストアンサー

> 回答は、_X・Y+X・_Y+X・_Y+X・Yになります。
解答は、_X・Y+X・_Y+X・Y
です。「X・_Y」をダブって書いてはいけません。
普通は最簡形でかきますが…。

> XとYがそれぞれ0、1のとき、X_Yで、f(X,Y)が1 になるんでしょうか?
「XとYがそれぞれ0、1のとき、f(X,Y)が1 になる」
で正しいです。
「X_Yで、」は書きませんね。

>この式はX_Yのとき1になるという決まりですか?
こういう書き方はしません(書けば減点対象でしょう)。
チャンと「X=1,Y=0のとき」と書かないといけません。
「決まりですか?」は適切な表現といえません。
A=5*3-(2+3)*2のとき
このAは5になるきまりですか?
といっているようなものです。
計算の結果を求めているにすぎません。
論理式も論理演算をすれば計算結果が出ます。
f(X,Y)=_X・Y+X・_Y+X・Yのとき
f(1,0)=0・0+1・1+1・0
=0+1+0
=1

Q論理式の解き方

論理式
______________
(x+y)・(x+z)
―は否定
・は論理積
+は論理和
を[等価な論理式]にするとどうなりますか?
_
x は x の否定。

Aベストアンサー

ド・モルガンの定理ってご存知?
論理式の括弧を外すときによく使います。

^(A・B) = ^A + ^B ・・・(1)
^(A+B) = ^A ・^B ・・・(2)

これがドモルガンの定理です。(^ を否定の意味で使用しました。)
ここで、
A = x+y
B = x+z
として先ほどの式(2) に代入すると、

^(A・B) = ^A + ^B
= ^(x+y) + ^(x+z)
= (^x・^y) + (^x・^z)

と展開できます。ということで、ご質問の論理式と等価な論理式は
^(x+y) + ^(x+z)  とか
(^x・^y) + (^x・^z) ですね。


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