No.3ベストアンサー
- 回答日時:
f'(x)+4f (x)+x^4=∫(0~x)f(t)dt…(1)
初期条件
f (0)=0 …(2)
(1)でx=0とおくと
f'(0)=0 …(3)
(1)を微分
f"(x)+4f '(x)+4x^3=f(x)
移項して整理すると
f"(x)+4f '(x)-f(x)=-4x^3 …(4)
(4)の斉次方程式の一般解f1(x)
f"(x)+4f '(x)-f(x)=0
s^2+4s-1=0
s=-2±√5
f1(x)=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t …(5)
(4)の特殊解f2(x)
f2(x)=ax^3+bx^2+cx+d …(6)
とおき(4)に代入
6ax+2b+4(3ax^2+2bx+c)-ax^3-bx^2-cx-d=-4x^3
(4-a)x^3+(12a-b)x^2+(6a+8b-c)x+2b+4c-d=0
xの恒等式なので各次の係数は全て0とおける。
a=4,b=48,c=408,d=1728
(6)に代入
f2(x)=4(x^3+12x^2+102x+432) …(7)
(4)の一般解は
f(x)=f1(x)+f2(x)
=c1*e^(-2+√5)t+c2*e^(-2-√5)t+4(x^3+12x^2+102x+432) …(8)
初期条件(2),(3)から
f(0)=c1+c2+1728=0
f'(0)=(-2+√5)c1+(-2-√5)c2+408=0
これらをc1,c2について解けば
c1=-(1932(√5)+4320)/5,c2=(1932(√5)-4320)/5 …(9)
(9)を(8)にに代入すれば(1)の微分方程式の答えが求まる。
No.2
- 回答日時:
F(x) = ∫[t=0~x] f(t) dt と置くと、問題の方程式は、
F '' (x) + 4 F ' (x) + x^4 = F(x), F ' (0) = 0 と書ける。
F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4 と書いたほうが見やすいか。
また、一行目の式に x=0 を代入して、F(0)= 0 も判る。
F '' (x) + 4 F ' (x) - F(x) = -x^4 に四次多項式の特殊解が
ありそうなことは、すぐ見当が付く。
F(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E と置いて代入してみると、
(-A)x^4 + (-B+16A)x^3 + (-C+12B+12A)x^2 + (-D+8C+6B)x + (-E+D+2C) = -x^4。
係数比較して、
-A = -1,
-B + 16A = 0,
-C + 12B + 12A = 0,
-D + 8C + 6B = 0,
-E + D + 2C = 0。
よって、A = 1, B = 16, C = 204, D = 1728, E = 2136。
したがって、F(x) = x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136 という解がある。
そこで、G(x) = F(x) - (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136) と置くと、
G '' (x) + 4 G ' (x) - G(x) = 0, G(0) = -2136, G ' (0) = -1728。
G の微分方程式は、斉次線型だから、型通りに解ける。
特性方程式 λ^2 + 4 λ - 1 = 0 を解いて、λ = -2±√5。
よって、G の一般解は G(x) = P e^((-2+√5)x) + Q e^((-2-√5)x) だから、
初期条件より、P + Q = -2136, (-2+√5)P + (-2-√5)Q = -1728。
この一次方程式を解いて、P = -1068 - 600√5, Q = -1068 + 600√5。
以上より、
F(x) = (-1068 - 600√5)e^((-2+√5)x) + (-1068 + 600√5)e^((-2-√5)x) + (x^4 + 16x^3 + 204x^2 + 1728x + 2136)。
微分して、
fx) = (-864 + 132√5)e^((-2+√5)x) + (-864 + 132√5)e^((-2-√5)x) + (4x^3 + 48x^2 + 408x + 1728)
計算ミスが無いといいな…
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 微分方程式の初期値問題 1 2022/07/28 16:40
- 数学 曲線y= f(x)上の任意の点Pで引いた法線とx軸の交点をN、Pからx軸に下ろした垂線の足をHとする 3 2022/12/25 10:45
- 数学 接線の本数を求めたいときの与式の微分について FG例題206 f(x)=xe^-x とするとき、 実 4 2023/07/24 15:43
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
- 数学 dx/dt=x-2y +e^t dy/dt=-3x +2y+1 初期値[1,0] [x,y] この連 3 2023/05/15 18:23
- 数学 連立微分方程式 dx/dt = |y| , dy/dt = x (-∞<t<∞) について、 (1) 3 2022/09/16 21:59
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 微分方程式の問題 1 2023/07/27 12:11
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
逆元の計算方法
-
一次不定方程式の整数解のうち...
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
数学
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
絶対値
-
高次方程式
-
連立方程式
-
3次方程式を早く因数分解する方法
-
β-α=√Dになる途中の計算の意味...
-
微分 極値
-
一次関数だと思うのですが・・・
-
一次不定方程式について質問で...
-
青チャート 基本例題10(分...
-
複素関数 sin(x+iy)について
-
方程式2x+3y=33 を満たす自然数...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学について
-
5x+7y=1の整数解を全て求めよ ...
-
逆元の計算方法
-
整式P(x)をx²+x+1で割ると余...
-
「この2式の辺々を掛けて」とあ...
-
数値代入法による恒等式の解説...
-
高1 数学A 56x-73y=5の整数解...
-
【等式 x+2y+3y=12を満たす自然...
-
一次不定方程式について質問で...
-
x^n-1を(x-1)^2で割った時の余り
-
一次不定方程式の整数解のうち...
-
方程式2x+3y=33 を満たす自然数...
-
y=2x-1/x+1の逆関数を求めるも...
-
3つの数で割るとそれぞれ違うあ...
-
急ぎ目でお願いしますm(_ _)m ...
-
数列について
-
数学の漸化式で定められる数列...
-
(高3)4元2次方程式がとけません。
-
次のような連立方程式がある。
-
代入法なのに、逆の確認をしな...
おすすめ情報