1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)...

は、n→∞のとき2に収束するでしょうか。

また、2に収束するならば、その証明もわかりやすくご教授お願いします。

A 回答 (2件)

答えを書かないのは意地悪ではないからね^^;



宿題だったり、自分で考えて勉強することが大事だから ヾ(@⌒ー⌒@)ノ

単純に 2 には収束しないと思うけれど。

No.1さんと同じです。

等比数列の和を 教科書で捜してください。

公比はいくつでしょう? 初項はいくつですか?

さすがにこれ以上はかけないです。もう答えになってしまいます。

そうすると、あなたがやられていることは、数学の問題を解くことではなく、

カンニングになってしまいます><

だから僕らもかけないんですよ>< ご理解ください。

絶対に載っていますから! 必ず解けるから。

自信もってね。 がんばってください! m(_ _)m
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この回答へのお礼

親切な回答どうもありがとうございます。

ですが、私は中学生です。高校数学の教科書がある前提では困ります。

それから

>単純に 2 には収束しないと思うけれど。

NO.1様の回答の等比数列を調べたところ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94% …

に2に収束するとかいてありますが・・・(違ってたらすみません)。

結局、等比数列を学べばいいということで理解しましたが。

お礼日時:2010/08/02 18:08

その式は等比数列の和だから、それをnで表してから証明すればいい。


あとは、教科書を読め。これ以上簡単にはかけないw
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QPID制御の1/4減衰法はなぜ1/4なのか?

PID制御のパラメータチューニング法の一つに1/4減衰法というのがありますが、なぜ"1/4"なのでしょうか?

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それとも、「明確な根拠は無いけど1/4ぐらいが(速応性とロバスト性のバランスという面で)ちょうどいいんじゃない?」、的な考え方なのでしょうか?

Aベストアンサー

1/4に付いてこんな質問が有りました。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3076541.html?order=DESC&by=datetime

この回答中のキーワード<Quarter-Amplitude Damping>で調べてみたら。
QAD
Quarter amplitude damping. A method espoused by Ziegler and Nichols
for tuning PID loop response to a step change.
http://www.globalspec.com/reference/53911/203279/chapter-q-q-qad-qwerty

QAD 1/4振幅減衰:ZieglerとNicholsによりステップ変化へのPIDループ応答
チューニングのために支持されたある方法。
とあります。

何故支持されたかのヒントとしては
<The Ziegler-Nichols tuning methods aim for a quarter-amplitude damping
response.・・・・Although quarter-amplitude damping-type of tuning provides very
fast rejection of disturbances,…>
http://blog.opticontrols.com/archives/477

Ziegler-Nichols チューニング法は1/4振幅減衰応答を目指している。・・・
1/4振幅減衰タイプのチューニングは非常に速やかに錯乱を排除するが・・・
と有ります。
チューニング法としては有効なことを言い、その制約が述べられています。

日本語では調べたらこんな文が見つかりました。
<ステップ応答法によって測定されたPID定数は、25%減衰を
最適とする調整法であり、最適調整法の最大公約数を取っております。>
http://www.as-1.co.jp/academy/15/15-5.html

後半の文は1/4振幅減衰法が最大公約数のPID値を与えている
とも読めます。

まとめるとPID制御の基礎を提供したZiegler-Nicholsがチューニングの
目安として1/4法を提案し、それが最大公約数的なPID値を与えるとして
今でも使われているのではないでしょうか・

質問の後半はZiegler-Nicholsの論文を丁寧に読むほか有りません。

勘にも頼らず、ただ試行錯誤でPID調整をやっていた昔が懐かしいです。

1/4に付いてこんな質問が有りました。
http://qanda.rakuten.ne.jp/qa3076541.html?order=DESC&by=datetime

この回答中のキーワード<Quarter-Amplitude Damping>で調べてみたら。
QAD
Quarter amplitude damping. A method espoused by Ziegler and Nichols
for tuning PID loop response to a step change.
http://www.globalspec.com/reference/53911/203279/chapter-q-q-qad-qwerty

QAD 1/4振幅減衰:ZieglerとNicholsによりステップ変化へのPIDループ応答
チューニングのた...続きを読む

Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

(1)lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
(2)lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)

の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
=
lim[n→∞][1/{(2/3)^n+n^2/3^n}]
までいけたのですがn^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。
どうなるのでしょうか?

あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
=
lim[n→∞](1/n)log(2^n+3^n)
までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

 a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

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まずこの時点で発散はしないことがわかります。
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もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
 a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
 a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
 lim_{n→∞} a(n) = 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n>10で、
 a(n+1)/a(n) < [1 + 2/10 + 1/100]/3 < 2/3
故に、n→∞ のとき、
 0 < a(n) = [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
      < (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
 lim_{n→∞} a(n) = 0
が得られる。
(別証終わり)


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

 lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
 = lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
 [1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
 (5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
 1 = 1^{1/n} < [1+(2/3)^n]^{1/n} < 1+(2/3)^n → 1
(∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a )
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
 n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

Q1/x+1/y=1/4を満たす自然数のx、y

(今回自然数は0を含まないとする)を求める問題で答えには、x≦yとして、このとき
1/4=1/x+1/y≦1/x+1/x=2/xからx≦8を導いていて、この後もしx≦4だとすると1/4<1/4+1/y≦1/x+1/yとなって1/x+1/y=1/4が成り立たないからx≧5としてるのですが、x≦yだから別にxが3でも2でもyがその分増えれば成り立つのではないですか?なぜか分かる方教えてください!お願いします!

Aベストアンサー

>x≦yだから別にxが3でも2でもyがその分増えれば成り立つのではないですか?

そう思うのなら実際にやってみたらいいじゃないですか。

x=3のとき、yはいくつにすればいい?

Q1/4か3/8か Tレンチ選び

 こんにちは。ko-kenのスライドヘッドハンドルとエクステンションの購入を考えているのですが、1/4か3/8かで悩んでいます。
コマは8,10,12,14mmで
差込角3/8必修ははプラグレンチのみです。

 私は普段大着をして細かいところもやってしまう、それから車載も考えているので、1/4かと思っているのですが、プラグレンチ使用時のトルクに耐えるかが心配です。

コマのサイズはこれ以上大きくする予定はありません。また、1/4も3/8も実物は確認しております。
1/4と3/8、どちらを選ぶのが適切でしょうか?

Aベストアンサー

私はアメ車なのでミリじゃありませんが、車載工具用は1/4のスライドヘッドを積んでいます。14mmまでならトルク的問題はないでしょう。プラグもトルクが小さいので問題ないです。
やはりなんといっても軽く小さく済むのが魅力です。
自宅メインは3/8ですが。

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

Q1度に1/4にできるピルカッター

1度に1/4にできるピルカッターを探しています。

カフェインの錠剤を1/4にして使いたいのですが・・・
インターネットで探しても、最初に、1/2(半分)にできる物しかないようなのですが・・・
1度に1/4にできるピルカッターってないでしょうか?

少々、値段が高くても購入するつもりです。

教えてください。よろしく、お願いします。

Aベストアンサー

詳しくないですが。

>1度に1/4にできるピルカッターってないでしょうか?
ないんじゃないの。
2つに割るのは1本の折線にそって曲げる力を加えればいいけど
4つに割るには折り線が2本、それも直行する方向に同時に曲げる必要があるけど物理的に無理だし
電動でもなく手動では充分な力を得られるかも怪しいです。

だいたい、錠剤の方も折り線は1本しかないのでは。


モノを身近に見てないので可否はわかりませんが、
2つに割ったあと90度回転させてもう一度、とすれば実現できそうな気もしますが。

あと、
「錠剤クラッシャー」なる、割るのでなく粉砕し粉薬に近づける機器はあるようですが。

Qはたしてlim[h→∞](1+h)^(1/h)やlim[h→∞](1+1/h)^hやlim[h→0](1+1/h)^hの極限は?

自然対数e≒2.71828の定義は
e:=lim[h→0](1+h)^(1/h)
ですが
これに対して
lim[h→∞](1+h)^(1/h)

lim[h→∞](1+1/h)^h

lim[h→0](1+1/h)^h
の極限はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

log{ (1+h)^(1/h) } = log(1+h)/h -> 0 ( h -> ∞ )ですね

(1+1/h)^h = (1+t)^(1/t) ( t = 1/h) ですね

Q1/4の円の作り方は?

1/4の円の作り方は?
ワードか、エクセルで1/4円を描きたいです。3/4円は、エクセルの図形でありますが・・。その反対が欲しいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

3/4円を作成するとその頂点部分が2か所黄色になります。
その黄色をドラッグして動かすと1/4の円が作れます。

QΣ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採ればいいのかわかりません。
どのように採れますでしょうか?

あと、後半については0<∀ε∈R,xを十分小さく取れば∀n∈N⇒Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2>ε
を言えばいいのだと思いますがxをどのように小さく採ればいいのでしょうか?

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採れ...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理よりΣ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。


(0,∞)で一様収束しないこと

一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在する。
N<nに対して、x=1/(2n)とすると

Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
                      ≧n×(√(n+1))/4
                      >ε

となって矛盾となる。
したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。


※一般的に関数列の一様収束性を定義に基づいて示すことは困難です。そのため、Weierstrassの優級数の定理等を用いて示すのが常道です。(0,∞)で一様収束しないことを示すのにはCauchy列の条件を使っています。
質問者さんがしっかり勉強してくれることを望みます。

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weier...続きを読む


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