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ロンスキアンと一次独立性について

f(x)=x^3, g(x)=|x^3|
という関数があり、これの一次独立性をロンスキアンを用いて調べてみようと思います。
f'=3x^2(x:任意実数), g'=3x^2(x>=0), -3x^3(x<0)
よりロンスキアンW(f,g)=fg'-f'g=0 (-∞,-∞)となります。
これはf,gが一次従属であることを示します。
しかし一方でA,Bを定数として任意の実数xに対して、Af+Bg=0
となるようなA,BはA=B=0しかありません。つまりこれは一次独立であることを表しています。

どこが間違っているのでしょうか?「ロンスキアン≠0⇔一次独立」は微分方程式を絡めたときでないと成り立たないなどと書いてあるものもありますがよく分かりません。
何か大きな勘違いをしているような気もします。
是非ご存じの方いましたら回答よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

n×n型のロンスキアンが ≠0 であることは、


n連立1階斉次線型微分方程式のn個の階が一次独立であるための条件
であって、それ以外のことは判定できない。

この質問の f, g は、2連立1階斉次線型微分方程式の解にならない
(そのような微分方程式が存在しない) ので、
ロンスキアンを用いて独立性を判定することはできない。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど・・・そうでしたか!
ありがとうございます!!

お礼日時:2010/08/07 10:49

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Qロンスキアン利用による1次独立性(線形代数学)

f1(x)=(e^x)(cosx)
f2(x)=(e^x)(sinx)
f1,f2は1次独立であるかどうか?
ロンスキアン利用で解く方法があると思いますが、詳しく解き方を教えてください。

Aベストアンサー

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠0であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'=0
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''=0
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)=0

がなりたちます。ところが、W(f1,f2,...,fn))≠0ですから、c1=c2=...=cn=0となります。(行列で表現された連立方程式「Ax=0が|A|≠0であるならば、これは自明な解x=0しか持つことができない」という定理はご存じですね)
したがって、f1,f2,...,fnは一次独立です。

ここで、少し補足をさせていただくと、No1では、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立
の逆は一般的に成り立たないことをのべましたが、線型微分方程式との関係(連続、微分可能性という条件)で証明すれば、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇔関数f1,f2,..,fnは一次独立
が成り立ちます。

それから、少しよけいなことを述べさせて頂くと、サラスの方法というのは3行3列の行列式の展開方法のことですので、2行2列の行列式の場合は特に名前はなかったような気がします。

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠0であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'=0
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''=0
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)=0

がなりたちま...続きを読む


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