一辺がaの立方体の一つの対角線(最も離れている2点を結んでできる線)を軸として回転したときにできる立体の体積の求め方を教えて下さい。

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A 回答 (2件)

このような「回転もの」の体積を求める場合、「軸から一番遠い部分はどこか」を探すのが最も重要な作業になります。



立方体の各頂点にABCD-EFGHと名前を付けます。一般的なやり方に従って、面ABCD方向から面EFGH方向を見た時Aの真下にEが位置するとします。(同様にB-F, C-G, D-Hが対応します)
対角線AGを軸に一回転させることにしましょう。

次に、およそで良いので見取り図を書いてみてください。
立方体ですから随分と角ばっていますよね。回転させた時に通過する領域の求め方もいくつかに場合分けして考える必要がありそうです(ここはちょっと、要想像力)。
回転した時に、どの稜が軸から最も遠くを通るかを考えると
(1)Aを頂点とする三角錐A-EBDでは・・・稜AE(AB, ADでも同じ)が最も軸から遠い
(2)Gを頂点とする三角錐G-FCHでは・・・稜GF(GC, GHでも同じ)が最も軸から遠い
ということになります。
これらを軸の周りに回転させたときに張る図形は単純な円錐(底面半径a√6/3、高さa/√3)になりますから、積分を持ち出さなくても体積は求まります。
少し厄介なのはその中間にある、
(3)上面と下面が正三角形で、双方の三角形が60°ねじれた形で位置し、各頂点を結んだ立体図形
です*。(次の2枚の図を少し間を開けて重ね、EF BF BH DH CD CDをそれぞれ結んでみてください)
  E
 △
B  D

F  C
 ▽
 H
このとき、軸から最も遠い点は稜EF(他の等価な稜でもよい)になります。因みにこの立体の高さはa/√3です。
さて、一般にある軸を中心に、その軸に対しねじれの位置にある直線を一回転させるとその張る面は回転双曲面になります。こいつを適当な面(ただし軸に垂直な面)2箇所でちょん切った鼓のような立体図形の体積を求めるには積分を使う必要があります。
3次元のx-y-z座標系において
・軸AGをZ軸にとる
・面CFHを面z=0内におく。さらにFは直線x=0上にあるとする
と決めると、点Fは(0, 2a/√6, 0)に位置することになります。
点Eの座標を(a/√2, a/√6, a/√3)とすると直線EFは、z=tとおいて
 x=t√6/2   (1)
 y=((2a/√6)-t/√2)   (2)
となります。(z=tと置いたのはその後の計算の技巧上の理由)
軸から直線EFまでの距離の2乗(すなわち、x^2+y^2)を作ると、tをパラメータとして
 2t^2-2a t/√3+2a^2/3   (3)
となります。πを掛けて、さらに微少厚みdtをかけてt=0からt=a/√3まで積分すると
 (5/(9√3))πa^3   (4)
となります。

あとは(1)(2)の部分と足し算してください。(πa^3)/√3になりましたが、どうでしょう。
もとの立体の体積(a^3)t比較すると1.8倍くらいの大きさですから大はずれはしていないと思いますが、細かい計算ミス、名前の取り違えがあるかもしれません。念のためチェックください。

*脚注 実際には右手系/左手系で、鏡像関係にある2種類の図形が存在し得ます。
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対角線に対して直行する平面で切断した断面を考え、対角線から一番遠い地点までの距離を求めます。

結果としては、対角線の両端となる頂点を結ぶ3本の辺(どの経路でも同じです)までの距離になりますが、これを片方の頂点から平面までの距離の関数にして、それを半径とする円の面積を対角線の長さ分だけ積分すれば答えが出ます。
対角線の長さは、a×sqrt(3) ですね。

方針はこんなところでよろしいですか?

もう少し、細かく計算するヒントを出した方が良いでしょうか?

以上。
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Q中学受験ママさん

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1.達成感
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Z会の資料には、はっきりと中学受験対応になっていないと書いてあったと思います。以前お試しで教材をいただいたのですが、やはり教科書レベルという感じで分量も多くありません。私個人の感想では中学受験にはチョッと足りないかなという感じがします。

中学受験には学校で習う基礎・基本を使って解く応用問題を、短い時間で解くことが求められるます。そういう指導を小学生に通信教育でするのは難しいかもしれません。(?)

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Q中学受験(算数)の教え方についてアドバイス下さい

こんにちは。塾講師や家庭教師で生計をたてている者です。
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ぼちぼち実績も出てきだしたところで、何件か中学受験の家庭教師を打診されています。
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Aベストアンサー

塾講師、家庭教師経験者です。
中学受験の家庭教師は確かに難しいですね。
公式を使えば簡単に答えは出るような問題でも、
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例えば1+1=2ではなく、どうして1足す1は2になるかを
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早くから受験勉強を始め、できる子は、向こうも問題慣れしていますのでいいのですが、
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Q【三角形の合同条件】2角挟辺?2角1辺?

数学を教えているときに、中学生の娘に問われてハタと考え込んでしまいました▲娘曰く「三角形の2角(角Aと角B)と挟んでいない1辺(辺AC)が同じなら、2つの三角形は合同ではないの?」▲考えてみれば、三角形の内角の和は180度なのですから、角Aと角Bがそれぞれ同じならば角Cも同じ大きさになるわけですよね。この時点で角Aと角C、さらに辺ACが既に同じ長さだと分かるわけです。これで2辺挟角が成立。従って2つの三角形は合同...▲つまり「2角挟辺」ではなくて「2角1辺」が相等しいならば、その時点で2つの三角形は合同である、と言えるのではないか、というのが娘の疑問です▲昔から何の疑問もなしに「三角形の合同条件」を丸暗記していた私には、至極尤もな意見であるように思えると同時に、それに対する明確な答えが分かりません。どなたか、ぜひお助け下さい!▲ちなみに「2辺挟角」が「2辺1角」では合同にならないことは理解できています▲ややこしくて、申し訳ありません。どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
これをどう解釈するか。
「対応する1つの辺が等しい」と解釈すれば,AB=A'B'か,BC=B'C'か,CA=C'A'のどれかということになります。
この場合は,その辺の両サイドの角について考えれば,質問者さんがおっしゃるとおり,2角挟辺に帰着しますので,合同になります。
つまり,「対応する2角が等しく,またそれと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺が等しければ,合同」です。

しかし,これを省略して「2角1辺」といってしまうと,「それと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺」という条件を忘れてしまって,単に「1つの辺が等しい」というだけの意味で解釈されてしまう危険性があります。
そうすると,既出のように,たとえばAB=ACなどのようなケースも入ってきてしまいます。
つまり,例えば「∠A=∠A',∠B=∠B',AB=AC」も含まれるのかな,
と思う人が出てくるおそれがあります。
そういう誤解の生まれる余地のないように,「2角挟辺」という表現になっているのではないかと思います。

ちなみに,残りの2つの合同条件は「2辺挟角」と「3辺」ですが,
>「2辺挟角」が「2辺1角」では合同にならないことは理解できています
とのことですので,最後の「3辺」について一言触れておきますと,三角形ですので,「3辺が等しい」のであれば,どう対応させようとも,合同になってしまうのです。(はしょった表現ですが通じるでしょうか)

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
こ...続きを読む

Q中学受験を目指す子にはどのような指導をしたらいいですか?

こんにちは。

家庭教師のアルバイトで中学受験を目指す小学4年生の子を教えることになったのですが、正直、私自身も私の周りの者も中学受験というものを経験したことが無く、どのようなことを指導すればよいのか皆目見当もつきません。

小学4年生だからまずは基礎をとのことですが、中学受験の基礎が何かすらわかりません。本屋で中学受験に関する書籍を立ち読みしてみましたが、小学4年生ではまず、何から取り組めばよいのでしょうか?受験経験者、または指導経験者のかたがいらっしゃいましたら教えてください。ちなみに指導教科は算数と国語です。

Aベストアンサー

娘2人が中学受験をしました。今下の子がピッカピッカの中学1年生です。一口に中学受験といっても学校によってかなりレベルが違います。でも「4年生だからまずは基礎を」ということですから、超難関校ではなさそうですね。それでも受験に必要なのは絶対的な勉強量です。中学受験の塾に行っている子は半年くらい学年の勉強を先行しています。うちも6年の夏までに6年の範囲は終えて、後半は過去問をときまくっていました。問題も普通の教科書に載っているものとはだいぶ違います。うちは四谷大塚の問題集を使っていましたが、説明も載っていて、わかりやすかったです。その他の有名な中学受験塾でも、ネットなどで簡単に問題集を注文できると思います。何から取り組んだらいいかわからないようでしたら、そういう問題集を購入してもらい、やらせてみるのが早道ではないでしょうか。また、本屋さんでも「中学受験」とうたった問題集を売っていますが、それは四谷の問題集と、塾独自の教材とは別に、補助教材として使っていました。
あとは国語も算数の文章題も、文を読みこなす力が必要ですし、作文のある学校も多いので、文章力をつける指導をしてあげてください。

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Q立方体の6つの辺の中点を通る線で、正六角形となるように線をひいた。この

立方体の6つの辺の中点を通る線で、正六角形となるように線をひいた。この立方体の展開図はどれか。

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頭の中で考えるのがすごく難しいのですが、何か解き方にコツとかあれば教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

隣り合う面に、正六角形の辺が繋がっていることがポイントです。
選択肢の1,2は、隣り合う面の線が繋がって居ないことに着目して、消去法で選択肢3が回答だと導けます。

Q中学受験について

最近は中学受験にむけて塾に通っているお子さんが多いと聞きます。

(1)塾のほうが良いのでしょうか?家庭教師は駄目ですか?

(2)中学受験はどのように志望校?目標校?をきめるのでしょうか?

(3)塾や家庭教師はなにを基準に決めますか?(例えば評判が良いとか・・・)

一人っ子の娘がいます。小学3年生です。まだ本人は中学受験に興味はまったくありません。来年から中学受験にむけて塾に行ったほうが・・・と聞きました。アドバイス宜しくお願いします。

Aベストアンサー

中学受験のお子さん指導経験のある元塾講師です。

 結論からいって
 (1)中学受験を自ら進んでやりたいと言うお子さんの場合
 (2)親が無理やりやらせる場合
 (3)なんとなく始めて受験する場合
 
 色々あります。興味がないお子さんでも一生懸命勉強する仲間を見て「受験勉強やりたい」というお子さんも勿論います。逆に勉強やだというお子さんもいますが、無理にさせることは私は反対です。
本人の意思がない場合、中学受験はほとんどが失敗し、仮にうまくいってもその後何らかの形(不登校など)で現れるからです。みんながやってるからという理由でやるのはおすすめしません。(お金もかかります)

 家の家計が大変でも「子供が一生懸命勉強している姿を見ると頑張ろうと思う」このようなスタンスなら家計が苦しくても乗り越えられますが、そうでないと無理です。(家計に余裕があっても無理です)

 ここからは受験する前提で書きます。
(1)塾・家庭教師に関してですが両方に長所があります。
 お子さんが競争意識が強いなら塾、一人でこつこつやるタイプなら家庭教師がおすすめです。
 塾というのは生徒全体の底上げやトップの子の合格を重要視します。そのため多少気の弱いお子さんな どはケアができない場合があります。ただ講師の立場で言うと「塾の友達」はお子さんが初めて持つ「ライバルであり戦友」という学校の友達とは違うものがあり私は好きです。この塾の友達は結構うるさいのが多いのでそれが肌に合うかどうかです。また塾によってもお子さんは結構違うのでご自身で見学に行かれるといいです。 
 家庭教師は生徒に最適なペースで授業をします。ただ料金が塾より高いのが普通です。また初めてのお子さんの場合、お母さんが不安になる場合もあるようです。塾にいると父母会などが多くそうしたものが家庭教師の場合すくなかったりない場合があります。

(2)志望校の決め方
  …わかりやすく例をあげると家を買うのと同じです。
  家の予算=受験ではお子さんの偏差値・学費
  敷地面積=通学圏内
  レイアウト=校風

 決め方に決まりはありません。同じ偏差値でも大学受験特化校か大学付属校かで全然違います。
「お子さんがどうなりたいか・お子さんにどうなってもらいたいか」でご判断下さい。
 (早稲田と慶應を両方受験されるお子さんがいますが医者志望であれば早稲田でなく巣鴨等のほうをおすすめしています)

(3)われわれは決まられる立場ですが親御さんから聞くのは
 「成績が伸びそう」
 「子供が気に入った」等が多いようです。
 ただお子さんや親御さんの考えに沿わないようであればお断りする場合もあります。これは高飛車な考えでなく両方(塾もご家庭も)が不幸にならないためです。
お子さんがたのしく通える塾か学べる家庭教師をお探しください。
ご参考までに。

中学受験のお子さん指導経験のある元塾講師です。

 結論からいって
 (1)中学受験を自ら進んでやりたいと言うお子さんの場合
 (2)親が無理やりやらせる場合
 (3)なんとなく始めて受験する場合
 
 色々あります。興味がないお子さんでも一生懸命勉強する仲間を見て「受験勉強やりたい」というお子さんも勿論います。逆に勉強やだというお子さんもいますが、無理にさせることは私は反対です。
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Q3つの直交する軸で円形に切った立体の体積

先日の『たけしのコマネチ大学数学科』の「投影図」の回で、正面図と側面図が直径aの円、平面図が1辺aの正方形となる(最大の)立体を取り上げていました。

その立体は円筒を軸と垂直に同じ円で切断した、栗の実とかふくらんだ座布団のような立体で、上下軸のどこで切っても断面が正方形になるため、

この立体の体積:直径aの球の体積 = 正方形の面積:円の面積

となるのは面白いと思いました。

そこで疑問がわいたのですが、この立体をもう一度、上下(平面図の視線方向)の軸を中心に直径aの円で切ってできる立体の体積はどうなるでしょうか?

微分積分は得意ではないので、あまり複雑でなければ知りたいと思うのですが…。

Aベストアンサー

とっくに答えが出ているけれど、積分で求めてみましょう。

(準備)「コマ大の立体」の軸方向をx軸とし、この軸を含む平面でこの立体を切断すると、断面は円になる。この円の中心を原点にし、x軸に垂直にy軸をとる。
この断面は上下左右に対称なのでx≧0、y≧0で考える。円の半径をrとする。

(本題)x軸に沿った円筒でこの立体を切っても、x≧r/√2では影響がないので、x軸に垂直な断面は正方形。1辺の長さは√(r^2-x^2)
∫[r/√2→r](r^2-x^2)dx=[r^2x-x^3/3][r/√2→r]=(8-5√2)r^3/12

r/√2≧x≧0では、1辺の長さ√(r^2-x^2)の正方形の内、半径rの円内にある部分だけが断面となる。
           この断面の1/4を左図に示す。(斜線EDは実際には
 y         中心をO、半径をrとする円弧。四角形AC BOは正方形)
 ↑  E       断面は△AEO+△BDO+扇形EDO。
A├───┐C    OA=√(r^2-x^2)、AE=x、かつ
 |   \|     △AEO≡△BDOだから
 |     |D    △AEO=△BDO=x√(r^2-x^2)/2
 |     |     扇形EDOの中心角はπ/2-2asin(x/r)
O└───┴→ z   だから扇形EDO=πr^2*(π/2-2asin(x/r))/(2π)
       B      =r^2(π/2-2asin(x/r))/2

断面=x√(r^2-x^2)+r^2(π/2-2asin(x/r))/2 

∫[0→r/√2](x√(r^2-x^2)+r^2(π/2-2asin(x/r))/2)dx
 =[-(r^2-x^2)^(3/2)/3-2(x・asin(x/r)+√(r^2-x^2))][0→r/√2]
 =(16-7√2)r^3/12

両者を足して整理すると (2-√2)r^3
これは全体の1/8を求めたことになるので 8(2-√2)r^3
r=d/2を代入すると#1さんの答えと一致します。

とっくに答えが出ているけれど、積分で求めてみましょう。

(準備)「コマ大の立体」の軸方向をx軸とし、この軸を含む平面でこの立体を切断すると、断面は円になる。この円の中心を原点にし、x軸に垂直にy軸をとる。
この断面は上下左右に対称なのでx≧0、y≧0で考える。円の半径をrとする。

(本題)x軸に沿った円筒でこの立体を切っても、x≧r/√2では影響がないので、x軸に垂直な断面は正方形。1辺の長さは√(r^2-x^2)
∫[r/√2→r](r^2-x^2)dx=[r^2x-x^3/3][r/√2→r]=(...続きを読む


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