一辺がaの立方体の一つの対角線(最も離れている2点を結んでできる線)を軸として回転したときにできる立体の体積の求め方を教えて下さい。

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A 回答 (2件)

このような「回転もの」の体積を求める場合、「軸から一番遠い部分はどこか」を探すのが最も重要な作業になります。



立方体の各頂点にABCD-EFGHと名前を付けます。一般的なやり方に従って、面ABCD方向から面EFGH方向を見た時Aの真下にEが位置するとします。(同様にB-F, C-G, D-Hが対応します)
対角線AGを軸に一回転させることにしましょう。

次に、およそで良いので見取り図を書いてみてください。
立方体ですから随分と角ばっていますよね。回転させた時に通過する領域の求め方もいくつかに場合分けして考える必要がありそうです(ここはちょっと、要想像力)。
回転した時に、どの稜が軸から最も遠くを通るかを考えると
(1)Aを頂点とする三角錐A-EBDでは・・・稜AE(AB, ADでも同じ)が最も軸から遠い
(2)Gを頂点とする三角錐G-FCHでは・・・稜GF(GC, GHでも同じ)が最も軸から遠い
ということになります。
これらを軸の周りに回転させたときに張る図形は単純な円錐(底面半径a√6/3、高さa/√3)になりますから、積分を持ち出さなくても体積は求まります。
少し厄介なのはその中間にある、
(3)上面と下面が正三角形で、双方の三角形が60°ねじれた形で位置し、各頂点を結んだ立体図形
です*。(次の2枚の図を少し間を開けて重ね、EF BF BH DH CD CDをそれぞれ結んでみてください)
  E
 △
B  D

F  C
 ▽
 H
このとき、軸から最も遠い点は稜EF(他の等価な稜でもよい)になります。因みにこの立体の高さはa/√3です。
さて、一般にある軸を中心に、その軸に対しねじれの位置にある直線を一回転させるとその張る面は回転双曲面になります。こいつを適当な面(ただし軸に垂直な面)2箇所でちょん切った鼓のような立体図形の体積を求めるには積分を使う必要があります。
3次元のx-y-z座標系において
・軸AGをZ軸にとる
・面CFHを面z=0内におく。さらにFは直線x=0上にあるとする
と決めると、点Fは(0, 2a/√6, 0)に位置することになります。
点Eの座標を(a/√2, a/√6, a/√3)とすると直線EFは、z=tとおいて
 x=t√6/2   (1)
 y=((2a/√6)-t/√2)   (2)
となります。(z=tと置いたのはその後の計算の技巧上の理由)
軸から直線EFまでの距離の2乗(すなわち、x^2+y^2)を作ると、tをパラメータとして
 2t^2-2a t/√3+2a^2/3   (3)
となります。πを掛けて、さらに微少厚みdtをかけてt=0からt=a/√3まで積分すると
 (5/(9√3))πa^3   (4)
となります。

あとは(1)(2)の部分と足し算してください。(πa^3)/√3になりましたが、どうでしょう。
もとの立体の体積(a^3)t比較すると1.8倍くらいの大きさですから大はずれはしていないと思いますが、細かい計算ミス、名前の取り違えがあるかもしれません。念のためチェックください。

*脚注 実際には右手系/左手系で、鏡像関係にある2種類の図形が存在し得ます。
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対角線に対して直行する平面で切断した断面を考え、対角線から一番遠い地点までの距離を求めます。

結果としては、対角線の両端となる頂点を結ぶ3本の辺(どの経路でも同じです)までの距離になりますが、これを片方の頂点から平面までの距離の関数にして、それを半径とする円の面積を対角線の長さ分だけ積分すれば答えが出ます。
対角線の長さは、a×sqrt(3) ですね。

方針はこんなところでよろしいですか?

もう少し、細かく計算するヒントを出した方が良いでしょうか?

以上。
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密度は (質量)/(体積),すなわち単位体積あたりの質量です.
質量とは,物質の量.
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重さ(重量)は,(通常は地球上で)物体に作用する重力の大きさで,
その物体の質量と重力加速度gとの積に等しい.
力の次元をもった量で,SI単位なら,N(ニュートン)が単位です.
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したがって,単位体積あたり重量は,N/m^3 がSI単位です.

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 http://daijirin.dual-d.net/extra/jyosusi.html
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Aベストアンサー

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
「1つの辺が等しい」
これをどう解釈するか。
「対応する1つの辺が等しい」と解釈すれば,AB=A'B'か,BC=B'C'か,CA=C'A'のどれかということになります。
この場合は,その辺の両サイドの角について考えれば,質問者さんがおっしゃるとおり,2角挟辺に帰着しますので,合同になります。
つまり,「対応する2角が等しく,またそれと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺が等しければ,合同」です。

しかし,これを省略して「2角1辺」といってしまうと,「それと同じ対応関係のもとで対応する1つの辺」という条件を忘れてしまって,単に「1つの辺が等しい」というだけの意味で解釈されてしまう危険性があります。
そうすると,既出のように,たとえばAB=ACなどのようなケースも入ってきてしまいます。
つまり,例えば「∠A=∠A',∠B=∠B',AB=AC」も含まれるのかな,
と思う人が出てくるおそれがあります。
そういう誤解の生まれる余地のないように,「2角挟辺」という表現になっているのではないかと思います。

ちなみに,残りの2つの合同条件は「2辺挟角」と「3辺」ですが,
>「2辺挟角」が「2辺1角」では合同にならないことは理解できています
とのことですので,最後の「3辺」について一言触れておきますと,三角形ですので,「3辺が等しい」のであれば,どう対応させようとも,合同になってしまうのです。(はしょった表現ですが通じるでしょうか)

数学の問題というより,言葉の問題かも知れません。

「2角挟辺」をきちんと表してみましょう。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
AB=A'B'
が(全て)成り立つならば,△ABC≡△A'B'C'

このとき,結果的に∠C=∠C'も成り立っています。
では,同じように「2角1辺」を式に直してみましょうか。

二つの三角形を,△ABC,△A'B'C'とするとき,
∠A=∠A'
∠B=∠B'
(従って結果的に,∠C=∠C'でもある)

…ここまでは良いのです。問題はその次です。
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ぜひ 教えて下さい!

Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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>その判断基準は何なのでしょうか?

先の回答でも書いていましたが、
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>逆の言い方をすれば、微小な厚みを表す量が dxであるということです。
>側面積は皮の幅×長さを足し合わせたものであり、皮の幅は曲線に沿ったものであるということです。


先にも例で上げていた直線:y= 2xを例に考えてみれば、
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「二等辺三角形でない適当な△ABCについて,頂角Aの二等分線と,頂角Aの対辺BCの垂直二等分線は決して△ABC内では交わらない」

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いくつかのパターンで作図してみれば

直感的には分かるのですがなぜそうなるのかという厳密な証明がわかりません.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

△ABCにおいて、
頂角Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき
 BD:DC=AB:AC
が成り立つ。

辺BCの垂直二等分線は辺BCの中点を通る。

証明
△ABCがを二等辺三角形ではない適当な三角形だとすると、
辺ABと辺ACは同じではない。
頂角Aの二等分線と辺BCの交点をDとすると、
BD:DC=AB:AC
より点Dは辺BCの中点ではないことがわかる。
このとき辺BCの中点はBD:DCのどちらか比が大きい方に存在することになる。
辺BCの垂直二等分線は辺BCの中点を通り垂直に延びる線なので、
BD:DC=AB:ACより
辺BCの中点からAB:ACの比が大きい辺へと抜けていく線になるので、
二等辺三角形でない適当な△ABCについて,頂角Aの二等分線と、
頂角Aの対辺BCの垂直二等分線は決して△ABC内では交わらない
といえる。


こんな感じですかね。


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