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z^3=1+√3i を求める問題です。
解と係数の関係からα+β+γ=0, αβ+βγ+γα=0, αβγ=1+√3i として連立方程式を立てましたが、上手くいきません。
どのようにして求めるのでしょうか?アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

A 回答 (4件)

z=x+yiとおくと,


z^3=x^3+3x^2・yi+3xy^2・i^2+y^3・i^3
=x^3+3x^2・yi-3xy^2-y^3・i
=x^3-3xy^2+(3x^2・y-y^3)i=1+√3i
となるので両辺の係数を比較して解く。
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この回答へのお礼

TheDick1981様ありがとうございます。両辺の係数を比較して解く方法に気付きませんでした・・・

お礼日時:2010/08/07 18:47

z^3=1+√3i =2e^(iπ/3+i2nπ)


z={2^(1/3)}e^{iπ/9+i2nπ/3}
ここでn=0,±1

z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/3)+i sin(π/3)}
z2={2^(1/3)}e^(i7π/9)={2^(1/3)}{-cos(2π/9)+i sin(2π/9)}
z3={2^(1/3)}e^(-i5π/9)={2^(1/3)}{-cos(4π/9)-i sin(4π/9)}
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この回答へのお礼

info22_様ありがとうございます。アドバイスいただいたような方法に気付きませんでした・・・
ただ、z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/3)+i sin(π/3)}は
z1={2^(1/3)}e^(iπ/9)={2^(1/3)}{cos(π/9)+i sin(π/9)}になりますね

お礼日時:2010/08/07 19:00

オイラーの関係を利用するのが簡単だと思います。



e^iθ=cosθ+jsinθ

なので1+√3i は2*e^i(60度±360度*n)

となります。したがってzは

2^1/3*e^i(20度±120度*n)

となります。たぶん他の方法では大変です。
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この回答へのお礼

haragyatei様ありがとうございます。e^iθ=cosθ+isinθ を用いる方法に気付きませんでした。

お礼日時:2010/08/07 19:07

右辺を極表示に変換して解かれたら良いのではと思います。



z^3 = 1+√3i = r*exp(i(θ+2πj)); r=2, θ=...
z = √r * exp(i(θ/3 +2πj/3)); j=0,1,2
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この回答へのお礼

ninoue様ありがとうございます。アドバイスいただいたような方法に気付きませんでした・・・

お礼日時:2010/08/07 18:56

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