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運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周

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  • 質問者：sabage1000
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

運動方程式 m(d^2x/dt^2)+kx=0 の固有角振動数、固有周期、固有振動数ってどうやって求めるんですか？

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A 回答 (4件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： Willyt
  • 回答日時：

これは簡単な二次の線形微分方程式です。

これを解くにはx＝exp(λt）と置けばいいのですが、その解は

x=Asinωt+Bcosωt 　ω=√k/m　となります。これは加法定理を使って

x=C・sin(ωt+δ)　C^2=A^2+B^2 δ=arctan(B/A) と変えることができます。

この式の周期が固有振動周期となり、その値はＴ＝2π／ω　ですよね。　固有振動数は1/T 固有角振動数はωになります。

ここで気をつけなければいけないのは、ｔ=πのときも　t=０　の値に戻って来ますが、その微分値、つまり速度は符号が逆になっているので元に戻ったことにはならず、ｔ=2πになったとき初めて初期値に戻って来たことになることです。だからωT=2πになります。
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No.4

  • 回答者： spring135
  • 回答日時：

固有角振動数、固有周期、固有振動数を求めるというのは微分方程式の解として正弦波を前提にしていることと等価です。


固有角振動数ｗを用いて
x=sin(wt)をm(d^2x/dt^2)+kx=0代入して
w=√(k/m)
ここに
w=2πf, fが固有振動数で
f=√(k/m)/2π
固有周期T=1/f=2π√(m/k)
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No.3

  • 回答者： ykskhgaki
  • 回答日時：

(d^2 x/dt^2) + (k/m)x = 0



ω= 2πf = √(k/m) , T = 1/f

f が固有振動数、T が固有周期です。
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No.1

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

その「運動方程式」を解く.

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

　誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

　例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ（と人）の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
　このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といいます。（音の場合は共鳴ともいいます。）

＞基本振動、２倍振動と出てきたんですがまた別物ですか？

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　なお、２倍だけでなく「３倍振動」「４倍振動」……もあります。いずれも固有振動です。

　誤解を恐れずにいうと、固有振動数というのは、その物体が自然に振動するときの振動数です。

　例えばブランコに人が乗って揺れているとき、ある振動数で揺れますね。この揺れているときの振動がそのブランコ（と人）の「固有振動」で、その振動数を「固有振動数」といいます。
　このブランコを別の人が押してあげるとき、この振動数に合わせて押すと大きく揺らすことができますが、違う振動数で押してもうまく揺れません。固有振動数に合わせた振動が外から加わって揺れが大きくなる現象を「共振」といい...続きを読む

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか？
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よろしくお願いします.

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そうですね。＃３の説明は，理解するには良い方法と思いますが，厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると，慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力，つまり，物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率，つまり，回転に関する係数です。合わせて，回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも，適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで，慣性モーメントとは，動力学では，回転運動に対する抵抗係数で，静力学では，回転変形（曲げ変形）に対する抵抗係数です。

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質量慣性モーメントの場合，この微小部分が微小質量であり，断面２次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで，
＞「材料力学では」断面二次モーメント＝慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが，ここでは，「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも，こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが，私の理解している内容を文章にしただけですので，ほぼ合っていると思いますが，多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。＃３の説明は，理解するには良い方法と思いますが，厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると，慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力，つまり，物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率，つまり，回転に関する係数です。合わせて，回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも，適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは？
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補足:
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・最後に『回帰分析』とは何？下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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Aベストアンサー

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（１、５）、（２，８）というデータを消せば目的の式は得られるのですが、（１、５）、（２，８）というプロットをグラフに残したままにしたいのです。
どうぞよい知恵をお貸し下さい。

Aベストアンサー

１系列の一部のデータ範囲を対象に近似曲線を引くことは出来ないように思えます。便宜的な方法として以下が考えられます。お試しください。

■グラフの一部に近似曲線を追加する

全てのデータ範囲を選択する
｜グラフウィザード 2/4　「グラフの元データ」｜系列タブ｜
系列１
　すでに全てのデータ範囲が対象となっている
系列２
　｜追加｜
　「Ｘの値」のボタンを押して後半のＸ値のセル範囲を選択する
　「Ｙの値」のボタンを押して後半のＹ値のセル範囲を選択する
グラフが作成される
全てのデータ範囲（系列１）と後半のデータ範囲（系列２）は重なっている
系列２へ近似曲線を追加する
　グラフ上、後半のデータ範囲の１要素を右クリック
　｜近似曲線の追加｜
　パターン・種類・オプションを指定する

■検討事項

・凡例・マーカー
無指定で系列に「系列１」・「系列２」という名前が付きます。同じ名前にすることは出来るようですが、系列２のみを消すことは出来ないようです。系列名の色を白にして見えなくする、プロットエリアのマーカーも二系列を同色とする、など考えられます。

・近似線
私は近似曲線のオプションに詳しくありませんが、全てのデータ範囲に対する近似線を引いたとして、後半のデータ範囲に対する近似線と重ならない（同形ではない）と思います。

１系列の一部のデータ範囲を対象に近似曲線を引くことは出来ないように思えます。便宜的な方法として以下が考えられます。お試しください。

■グラフの一部に近似曲線を追加する

全てのデータ範囲を選択する
｜グラフウィザード 2/4　「グラフの元データ」｜系列タブ｜
系列１
　すでに全てのデータ範囲が対象となっている
系列２
　｜追加｜
　「Ｘの値」のボタンを押して後半のＸ値のセル範囲を選択する
　「Ｙの値」のボタンを押して後半のＹ値のセル範囲を選択する
グラフが作成される
全てのデ...続きを読む

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Aベストアンサー

出来ると思いますよ。
例えばセルに下記のように入力してください。

A1:X, B1:Y
A2: 0.01 B2:=1/(1+0.01*A2)
A3: 0.1 B3:=1/(1+0.01*A3)
A4: 1 B4:=1/(1+0.01*A4)
A5: 10 B5:=1/(1+0.01*A5)

上記のように入力すると、B列の各列は数値が算出されて表示されます。この状態でグラフを書いてみてください。

グラフは、入力した上記のセルのどこかを選んだ状態で、下記の通り選択し「形式」を選んだ後に完了を押せばOKです。
「挿入」→「グラフ」→「散布図」
ただし、この状態では、X軸が対数表示にはなっていません。X軸の数値を右クリックし、「軸の書式設定」画面を表示し、「目盛」タブをクリックしてください。下の方に「対数目盛を表示する」とありますので、これをクリックすればOKです。

No1の方の回答で
>EXCELで対数グラフはサポートされていません。
>従って単純にはできないと思います。
と書かれていますので、この操作の可否はバージョンに依存するかもしれません。ちなみに私のバージョンはXpですから、新しいバージョンであれば問題なくできると思います。

出来ると思いますよ。
例えばセルに下記のように入力してください。

A1:X, B1:Y
A2: 0.01 B2:=1/(1+0.01*A2)
A3: 0.1 B3:=1/(1+0.01*A3)
A4: 1 B4:=1/(1+0.01*A4)
A5: 10 B5:=1/(1+0.01*A5)

上記のように入力すると、B列の各列は数値が算出されて表示されます。この状態でグラフを書いてみてください。

グラフは、入力した上記のセルのどこかを選んだ状態で、下記の通り選択し「形式」を選んだ後に完了を押せばOKです。
「挿入」→「グラフ」→「散布図」
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